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Perché k è usato come costante di proporzionalità?
Non solo k . a, b, c, d, m, n, p, q sono alcune lettere dellalfabeto romano che vengono spesso utilizzate come costanti.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau e \ omega sono alcune lettere usate frequentemente nellalfabeto greco come costanti.
Torna alla tua domanda: nessuno sa per certo perché. Ma credo fermamente che k sia usato come costante quasi ovunque, perché la parola tedesca per “costante” è konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . E indovina cosa? La prima lettera di quella parola è k . E i tedeschi hanno contribuito enormemente alla matematica sin dagli albori.
Sono portato a credere in questo modo, poiché, non solo la costante di proporzionalità, k denota anche alcune costanti specificatehttps: //en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Ad esempio: costante di Boltzmann , costante di Sierpiński “, Costante di Khinchin , Costante Landau – Ramanujan , per citarne alcune. Posso solo immaginare che loro (i matematici interessati o quelli che li hanno nominati) fossero consapevoli e influenzati dalla parola tedesca konstante.
Questo è tutto. Grazie per la lettura.
Risposta
Questa domanda evidenzia bene come la fisica sia diversa dalla matematica.
Ricorda, lo scopo di qualsiasi equazione in fisica, inclusa la seconda legge di Newton, è semplicemente quello di modellare una relazione “nel mondo reale”. Ciò significa che quali quantità scegliamo di essere costanti e quali scegliamo di essere variabili dipendono interamente dalla situazione fisica che lequazione intende modellare.
Con questo in mente, arriviamo alla seconda legge di Newton. Lo stesso Newton non espresse originariamente la sua legge in quel modo. Piuttosto, lo espresse (in parole) come
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Dove si trova \ mathbf {F} la forza (nota, la forza è un vettore), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} è la velocità di variazione della quantità di moto \ mathbf {p} (anche un vettore).
è possibile interpretarlo come una definizione di forza, e in base a tale interpretazione non è realmente significativo inserire una costante di proporzionalità perché una definizione di una quantità dice tipicamente noi nei termini più diretti cosa sia quella quantità in termini di unaltra quantità.
Come scritto, questo è ovviamente un insieme di tre equazioni, che specificano la direzione della forza nello spazio. Tuttavia, in molte situazioni la fisica della situazione è tale che potremmo essere interessati solo allentità della forza, e quindi questo semplifica in
F = \ frac {dp} {dt}
Ora lentità della quantità di moto è data da p = mv. Lespressione più generale per la derivata temporale di questa quantità è
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
Il primo termine a destra rappresenta un oggetto che si muove a una velocità costante mentre la sua massa cambia, mentre il secondo rappresenta un oggetto con una massa costante che si muove a una velocità variabile. Ora, le situazioni che di solito siamo più spesso interessati a modellare considerano la massa delloggetto una costante. Ciò significa
\ frac {dm} {dt} = 0
E quindi, il primo termine svanisce. Ci resta
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
E ora dovrebbe essere ovvio: In questa equazione, la costante di proporzionalità è m .
Infatti, se volessimo invece modellare, diciamo, un razzo che si muove a velocità costante ma che sta perdendo massa (cioè, la sua massa sta cambiando nel tempo) perché sta espellendo carburante come scarico che lo spinge in avanti, scriveremmo invece
F = v \ frac {dm} {dt}
Perché una velocità costante significa
\ frac {dv} {dt} = 0
E quindi il secondo termine nellespressione generale sopra svanisce. Quindi, in questa equazione, la costante di proporzionalità è v.
Ciò che questo mostra, spero, è che qualunque cosa consideriamo la costante di proporzionalità dipende interamente dagli eventi nel mondo reale e dalle relazioni tra loro. Ad esempio, m è diventata una costante di proporzionalità tra le grandezze di forza e accelerazione proprio perché volevamo modellare una situazione in cui la massa delloggetto era costante.Allo stesso modo, v è diventata una costante di proporzionalità tra lentità della forza e la velocità di variazione della massa nel tempo proprio perché volevamo modellare quel tipo di situazione.
Mettiamola a confronto con il modo in cui un approccio puramente matematico potrebbe assomigliare. Ricorda, la differenza è ora che non ci interessa davvero che le equazioni modellino la realtà, ci interessa solo che siano coerenti (e, ovviamente, che conducano a nuove matematiche interessanti). Quindi, facendo solo matematica, sono perfettamente libero di considerare la massa in qualsiasi unità desidero. Per portare a casa il punto, scegliamo qualcosa di ridicolo, come “macchie” come unità di massa. Per preservare la coerenza (e solo per questo motivo) devo definire la relazione tra i blob e le unità standard come i chilogrammi. Diciamo che definisco
1 chilogrammo = 3 Blob
Bene, con le mie nuove unità, ora devo inserire una costante di proporzionalità nellequazione, poiché le unità di Forza, Newton , non contengono blob. Quindi, considerando la massa in unità di blob, abbreviata con bb, F = ma diventa
F = \ frac {1} {3} kma
Dove
k = \ frac {1kg} {1bb} è la mia costante di proporzionalità. Oppure, se sono un po più matematicamente efficiente, scrivo
F = k “ma
Dove
k” = \ frac {1kg} {3bb } è la mia nuova costante di proporzionalità che ha appena assorbito la costante \ frac {1} {3}.
Il punto di tutto questo è che queste manipolazioni sono puramente matematiche. Le distinzioni coinvolte non hanno nulla a che fare con le relazioni del mondo reale che lequazione intende modellare. Non hanno contenuto di fisica ed è per questo che in sostanza non vedi mai nulla di simile *.
Nella maggior parte delle situazioni, le uniche costanti di proporzionalità che vedi in fisica sono quelle che ci vengono imposte dalla fisica del situazione.
(* Dico “essenzialmente” perché ci sono alcune situazioni, specialmente nellelettromagnetismo, in cui tali problemi sorgono a causa di diverse tradizioni di rappresentazione delle quantità, ma la maggior parte dei fisici non li considera “problemi di fisica” )