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Risposta h2>
La cosa fondamentale su decimale è che è solo uno dei molti moduli utilizzati per rappresentare i numeri. È una forma così comune, tuttavia, che molti (non per colpa loro) arrivano ad associare il numero alla forma stessa. E se due numeri hanno due forme diverse, devono essere numeri diversi, giusto?
Ma per quanto riguarda i seguenti due numeri:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {e} \ quad \ frac {1} {2}?}
rappresentazioni abbastanza diverse, ma esaminando ed eseguendo i calcoli / annullamenti necessari, quasi sicuramente mi crederai che queste due forme rappresentano lo stesso numero .
Perché?
Perché quando ci vengono insegnate le frazioni ci viene insegnato fin dalle prime fasi che due frazioni possono essere lo stesso numero e che sono in forma ridotta se numeratore e denominatore non hanno fattori comuni superiori a 1.
E ci teniamo a questo.
Ne siamo convinti grazie allesperienza e ripetizione di quellesperienza e possiamo usare forme diverse per verificarla.
Non tanto con i “decimali”, per non parlare di altri posizionali .
La cosa bella delle rappresentazioni decimali dei numeri è che per la maggior parte dei numeri (in un certo senso tecnico) la forma decimale è davvero unico (ma nella maggior parte di quei casi – nello stesso senso – non è pratico scriverlo in tutti i dettagli, mettiamola così).
Ci sono alcune eccezioni, però. Con “pochi” intendo che rispetto allintero “lotto” di numeri che in linea di principio (se non in pratica) possono essere scritti in decimale.Le eccezioni sono quei numeri che sono razionali e i loro denominatori (in forma ridotta) hanno solo potenze di 2 e / o potenze di 5.
Lo strumento necessario per comprenderlo è lessenza di una serie geometrica convergente.
Una serie geometrica convergente (infinita) è una serie della forma
\ displaystyle {\ qquad a + a \ times r + a \ times r ^ 2 + \ ldots + a \ times r ^ n + \ ldots.}
Quando la serie termina dopo un numero finito di termini con la massima potenza N è abbastanza facile confermare che la serie somma a
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
e chiediamo cosa significa avere una somma infinita. La definizione convenzionale è che i termini si rimpiccioliscono abbastanza rapidamente che il valore totale si avvicina a un limite finito quando N diventa arbitrariamente grande. Investigare questa idea ci porta a una condizione, che è che il rapporto comune r deve essere compreso tra (ma non essere neanche) -1 e 1. Oppure, | r | , equivalente a -1 .
Quindi la formula diventa
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
come il termine r ^ N \ to0.
Ora ricorda come viene definita la notazione decimale: in realtà è solo una scorciatoia per una serie della forma
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
dove k è la più alta potenza diversa da zero di dieci inferiore al numero, e a\_i, b\_j sono le cifre decimali (numeri interi da zero a nove).
Il numero 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 è un numero di questa forma, dove k = 0 e a\_0 = 9 = b\_j per tutti gli interi positivi j. Fortunatamente questo ci dà precisamente la forma di una serie geometrica! (Nota che ogni numero in forma decimale in cui le cifre sono diverse da 9 a destra è delimitato sopra da una serie come questa.)
Possiamo semplicemente inserire le cose: il primo termine è a = 9 e il rapporto comune è r = \ frac {1} {10} . Quindi sappiamo subito che questa serie converge!
Otteniamo
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Molto accurato.
Ci sono, ovviamente, altri trucchi che può usare per dimostrare che 9. \ dot9 = 10 (in decimale, comunque …), ma la cosa migliore (nella mia mente) è capire qualcosa su cosa significa la notazione e come funziona – e poi è facile fare i conti con il fatto che anche nella notazione posizionale non tutti i numeri sono rappresentati in un solo modo.
In generale, se abbiamo una base b valida, il numero rappresentato in quella base posizionale con la forma 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots è sempre uguale a 1. Quindi in binario (per esempio), dove 0.1 = \ frac {1} {2}, abbiamo 0.111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. Il “metodo” delle serie infinite funziona allo stesso modo per dimostrare questo risultato.