Risposta migliore
Intuitivamente, un denominatore di 3 implica che il numero sia “diviso” in tre parti uguali. 27 diviso 3 fa 9. Cioè, ciascuno dei 3 gruppi è uguale a 9.
2/3 indica che dei 3 gruppi di 9, solo 2 dei 3 gruppi sono preoccupanti. Quindi 2/3 è 9 + 9 = 18.
Il 2/3 di 27 è 18.
Risposta
John K Williamsson ha dato una buona risposta: per quello che ha chiamato la “somma sporca” di \ frac {1} {2} e \ frac {8} {9} (il termine matematico per questo è mediant ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
Suggerisce di usa lalgebra per dimostrare la disuguaglianza mediante : se a, b, c, d sono numeri positivi e
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
quindi
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Vorrei aggiungere che, a livello di scuola primaria, la disuguaglianza mediante non ha bisogno di una dimostrazione algebrica, è sufficientemente evidente.
Infatti considera le frazioni \ frac {1} {2} e \ frac {8} {9} come descrizioni di situazioni di vita reale:
\ frac {1} {2}: 2 bambini hanno 1 sacchetto di frutta .
\ frac {8} {9}: 9 bambini hanno 8 sacchi di frutta.
Si uniscono e condividono equamente: 1 + 8 sacchi di frutta tra 2 + 9 = 11 bambini, cioè, formano la mediante:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
In questa condivisione, quale gruppo di ragazzi perde e quale guadagna? Ovviamente 2 bambini con 1 bagaglio in più: hanno \ frac {1} {2} bagagli a testa, laltro gruppo ha una quota pro capite maggiore: \ frac {8} {9}. Per lo stesso motivo, i bambini del secondo gruppo perdono.
Uso un esempio con bambini e sacchetti di dolci nelle mie lezioni; qui ho sostituito i dolci con frutta più politicamente corretta – forse devo andare oltre e usare verdure verdi al posto della frutta. Lidea originale apparteneva al grande Israel Gelfand ed era espressa in un linguaggio più colorato:
Puoi spiegare la matematica a tutti, anche agli ubriachi. Se chiedi ad alcune persone che bevono vodka su una panchina del parco, cosè più grande, \ frac {2} {3} o \ frac {3 } {4} , risponderanno con imprecazioni. Ma se chiedi loro, cosa è meglio, 2 bottiglie di vodka per 3 persone o 3 bottiglie di vodka per 4 persone, ti daranno immediatamente la risposta giusta: di ovviamente, 3 bottiglie per 4 persone.
E questa conclusione istantanea nasce da un argomento che è il ribaltamento della dimostrazione informale della disuguaglianza mediante: come passare dalla situazione “2 bottiglie per 3 persone” alla situazione “3 bottiglie per 4 persone”? Naturalmente, significa che arriva un quarto uomo e porta con sé unintera bottiglia – immaginate, una bottiglia intera di vodka! Nella disuguaglianza mediante,
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
o
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
Ho visto alcuni documenti che confermano che questo è un tipico modello di aritmetica pensare, come fanno le persone “normali” in situazioni di vita reale (ad esempio, ho visto unaffermazione che viene utilizzato dagli infermieri ospedalieri per confrontare le dosi di farmaci, quale è più grande e quale è più piccola).