Migliore risposta
Questo è un buon momento per mostrare come funziona la matematica prendendo un concetto intuitivo ma vago e rendendolo preciso da definizioni intelligenti.
Cosa dovremmo intendere per opposto? Bene, una cosa ragionevole da dire è che quando eseguiamo unoperazione \ vee (chiamala come vuoi, banana è un bel nome per esempio) su x e il suo opposto x ^ *, il risultato dovrebbe essere un elemento neutro banana n. Cioè, x e “anti-x” dovrebbero annullarsi a vicenda in modo che x \ vee x ^ * = n. Nota che per il momento non sappiamo molto di banana oltre a queste proprietà formali. Il concetto di n essere neutro dovrebbe in questo senso significare che per ogni y, dovremmo avere y \ vee n = y, cioè, n non ha effetto su y quando banana viene applicata a entrambi.
Questo concetto di opposto è fondamentale in matematica, e il nome più comune per x ^ * è inverso di x rispetto alloperazione \ vee.
Quando \ vee è il addizione ordinaria + di numeri, x ^ * è denotato -x, poiché x + (- x) = 0 è lelemento neutro. Infatti, per ogni y, y + 0 = y. Quindi, in questo caso, lopposto di 0 è -0, che è 0 stesso!
Quando \ vee è la moltiplicazione, lelemento neutro è 1 (perché?). Allora 0 non ha un opposto, poiché nessun numero per zero è uno. Ci sono contesti in cui i matematici inventano un moltiplicativo opposto a 0, e di solito lo chiamano \ infty, il che ha un senso.
Risposta
Questo era stato precedentemente oggetto di qualche dibattito nella comunità matematica fino a quando Donald Knuth non ha messo le cose in chiaro nel 1992, quindi è comprensibile che permanga una certa confusione, ma la convenzione moderna è quella di definire 0 ^ 0 = 1, per una buona ragione.
Che cosa fa 0 ^ 0 significare? Forse ti è stato insegnato che una potenza zero viene calcolata dividendo unennesima potenza per unennesima potenza (n> 0); ciò non aiuta nel caso di 0 ^ 0 e porta alcune persone ad associare 0 ^ 0 al quoziente indefinito \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Queste persone non sono riuscite a rendersi conto che 0 ^ 2 è perfettamente ben definito e non può essere associato al quoziente indefinito \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 — non possiamo provare qualsiasi cosa introducendo una divisione per zero dove prima non esisteva.
Ma non abbiamo affatto bisogno di fare appello alla divisione:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Se tolgo tutte le tue mele n volte (n> 0) , non hai più mele; ma se tolgo tutte le tue mele 0 volte, avrai ancora tutte le tue mele. Più concisamente, 0 ^ 0 = 1 è un caso del prodotto vuoto , proprio come 0! = 1.
Allora perché ci è voluto così tanto tempo per essere accettato? Il problema apparente è che la forma limitante 0 ^ 0 è una forma indeterminata, nel senso che \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x) = 0 non fornisce informazioni * sul limite \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)}: potrebbe essere qualsiasi non negativo numero reale, \ infty, o potrebbe non esistere, a seconda delle particolari funzioni. Questo sembrava essere in conflitto con la semplice intuizione di cui sopra per oltre un secolo. Ma limportante è che la forma di limitazione 0 ^ 0 non ci impedisce di assegnare una definizione al valore 0 ^ 0 . Non sono lo stesso oggetto: la forma di limitazione 0 ^ 0 è solo unabbreviazione per il suddetto limite e la sua indeterminatezza significa semplicemente che lelevazione a potenza non può essere una funzione continua in qualsiasi quartiere di (0, 0).
Questo non dovrebbe sorprendere: ad esempio, \ lfloor 0 \ rfloor è anche una forma indeterminata (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor non esiste, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), tuttavia scriviamo ancora \ lfloor 0 \ rfloor = 0 come valore.
E quindi ora assegniamo 0 ^ 0 il valore utile, che è 1. Perché è utile? Perché ci consente di manipolare gli esponenziali senza aggiungere casi speciali .
- Se \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n è un polinomio , allora p (0) = a\_0 è il suo termine costante, ma non possiamo nemmeno scrivere un polinomio in questo modo ovvio a meno che 0 ^ 0 = 1. Lo stesso vale per le serie di potenze infinite, dove d è sostituito da \ infty.
- La valutazione delle infinite serie geometriche : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} quindi \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. è completamente valido (e anche continuo) per | x | , incluso in x = 0, ma richiede 0 ^ 0 = 1.
- Il teorema binomiale (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k vale anche quando a = 0 ob = 0, ma richiede 0 ^ 0 = 1.
- Il regola del potere \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) vale anche per n = 1 a x = 0, ma richiede 0 ^ 0 = 1.
- La risposta di Jack Huizenga fornisce un altro esempio: il numero di funzioni f \ due punti S \ to T è \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, ma solo se 0 ^ 0 = 1.
- Nel Church numeral codifica dei naturali, lelevamento a potenza è solo unapplicazione di funzione e 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* Il senso in cui 0 ^ 0 è una forma indeterminata è più debole che per altre forme indeterminate. Per funzioni analitiche complesse f, g con \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x ) = 0, abbiamo sempre \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} = 1, a meno che f non sia identicamente zero (nel qual caso il limite non esiste).
Donald Knuth fornisce fondamentalmente la stessa risposta in “ Two notes on Notation ” (1992, p. 6), insieme al contesto storico:
Tuttavia, la carta [di Libri] [33] produsse diverse increspature nelle acque matematiche quando apparve originariamente, perché suscitò una controversia sul fatto che 0 ^ 0 fosse definito. La maggior parte dei matematici concordava sul fatto che 0 ^ 0 = 1, ma Cauchy [5, pagina 70] aveva elencato 0 ^ 0 insieme ad altre espressioni come 0/0 e \ infty – \ infty in una tabella di forme non definite. La giustificazione di Libri per lequazione 0 ^ 0 = 1 era tuttaltro che convincente, e un commentatore che ha firmato il suo nome semplicemente “S” è salito allattacco [45]. August Möbius [36] difese Libri, presentando la ragione per cui il suo ex professore credeva che 0 ^ 0 = 1 (fondamentalmente una prova che \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = 1). Anche Möbius è andato oltre e ha presentato una presunta prova che \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 ogni volta che \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} g (x) = 0. Ovviamente “S” ha poi chiesto [3] se Möbius conosceva funzioni come f (x) = e ^ {- 1 / x} e g (x) = x. (E larticolo [36] fu silenziosamente omesso dalla documentazione storica quando le opere raccolte di Möbius furono infine pubblicate.) Il dibattito si fermò qui, apparentemente con la conclusione che 0 ^ 0 dovrebbe essere indefinito.
Ma no , no, diecimila volte no! Chiunque desideri che il teorema binomiale \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} valga per almeno un intero non negativo n deve credere che 0 ^ 0 = 1, poiché possiamo collegare x = 0 e y = 1 per ottenere 1 a sinistra e 0 ^ 0 a destra.
Il numero di mappature dal set vuoto al set vuoto è 0 ^ 0. deve essere 1.
Daltra parte, Cauchy aveva buone ragioni per considerare 0 ^ 0 come un forma limitante , nel senso che il valore limite di f (x) ^ {g (x)} non è noto a priori quando f (x) eg (x) si avvicinano a 0 indipendentemente. In questo senso molto più forte, il valore di 0 ^ 0 è meno de fi nito, diciamo, del valore di 0 + 0. Sia Cauchy che Libri avevano ragione, ma Libri ei suoi difensori non capivano perché la verità fosse dalla loro parte.