Migliore risposta
Dato Rt Triangle, lati 18, 24, 30; Trova il raggio del cerchio inscritto.
Risposta breve; le formule del raggio di un cerchio inscritto in un triangolo Rt è
Area / (1/2 Perimetro)
Larea è Altezza X metà della base; cioè
18 * 12 = 216
Il perimetro è 18 + 24 + 30 = 72; e diviso per 2
72/2 = 36
Il raggio del cerchio è 216/36 = 6 cm
Risposta lunga
Costruzione:
Bisect AC e CA, allincrocio controlla il luogo con la bisezione di BC, Va bene, quindi andiamo… ..
Con una bussola e una matita fare un cerchio che tocca qualsiasi lato, seguendolo intorno tocca gli altri 2 lati.
Intersezione delle etichette di AD e CE, O.
Da esso scende una perpendicolare a ciascun lato in P, in Q e in R.
Lintersezione, O, è equidistante dai lati AB, BC e AC. (Vedi III sotto)
I.
Considera i Triangoli, BPO e BRO.
Angoli BO = BO (Costruzione).
La linea BO è comune a entrambi i triangoli.
Angoli RO = PO (Constructed Rt Angles).
Ergo Triangles BPO e BRO sono congruenti.
Segue la linea BP = BR.
Ma sappiamo che BR = BC – r.
Quindi BP = BC – r; o 24 – r.
Con lo stesso argomento possiamo provare PA = AC -r: o 18 – r.
Quindi.
BP = 24 – r; PA = 18 – r; e BP + PA = BA.
Combinando conclusioni …… BP + PA = (24 – r) + (18 – r) Sostituendo BA per BP e PA e semplificando….
Quindi, BA = 42 – 2r.
Ma BA = 30 (dato). Sostituendo BA.
30 = 42 – 2r… semplificando…. 2r = 42 – 30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
Raggio trovato => 6 unità.
LAritmetica sembra essere,
Somma di tutti i lati, di questa serie di Triangoli, / 12 = Raggio di inscritto cerchio.
18 + 24 + 30 = 72
Raggio = 72/12 = 6.
Spero che questo aiuti.
Re ; formule in altre risposte, grazie a ciascuno. Nuovo per me! … lol. Imparo qualcosa di nuovo su Quora ogni giorno. Il mio preferito è “area / (0,5 * perimetro) = raggio del cerchio inscritto”… .216 / 36 = 6…
MODIFICA 6/26 / 17
III.
Dalla costruzione della figura,
I triangoli BPO e BOR sono congruenti, come dimostrato sopra. Anche APO e AOQ possono essere dimostrati congruenti.
Ergo
Linee OP = OR e OQ = OP. Poiché OP è uguale sia a OR che a OQ, questi sono uguali tra loro, cioè – OR = OQ. Di conseguenza questa è una prova che lintersezione della bisezione dei suoi angoli È il centro della figura, un triangolo rettangolo, ed equidistante dai suoi 3 lati.
QED
Risposta
Grazie per aver posto questa bella domanda, signor Lloyd – non solo la risposta alla tua domanda è un sì ma ce ne sono infinitamente molti (planari ) triangoli con le proprietà che richiedi e, a quanto pare, è possibile ordinarne alcuni in base ai raggi dei loro cerchi in questo modo che i suddetti raggi seguono o ombreggiano linsieme dei numeri naturali 1, 2, 3, 4 e così via.
In altre parole, utilizzando la discussione imminente come modello per una dimostrazione potenzialmente più formale, lo faremo mostrano un modo meccanico per generare un triangolo le cui lunghezze tutti i lati sono numeri interi e la lunghezza del raggio del cui cerchio è un numero intero n dato in anticipo.
Barra laterale: questi tipi di domande avere molto da fare con la teoria dei numeri elementare e molto poco a che fare con la geometria.
Una famiglia di triangoli (planari) che è garantito che le proprietà richieste immediatamente sono i cosiddetti Triangoli pitagorici – i triangoli giusti (per ora) le cui lunghezze tutti i lati sono numeri interi.
Ammettiamo che le lunghezze dei lati di un triangolo pitagorico siano il tutto, strettamente positivi, i numeri a, bec tali che:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
Concordiamo anche che quando tutti e tre gli interi a, b, c sono coprimi quindi il triangolo pitagorico corrispondente è chiamato primitivo e supponiamo per un momento di essere riusciti in qualche modo a trovare un triangolo così primitivo a\_0 , b\_0, c\_0.
Poiché la relazione in ( 1 ) non ha altri termini a virgola mobile, ne consegue che ridimensionando tutti i numeri che formano un Triangolo pitagorico primitivo dallo stesso intero strettamente positivo k:
\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}
otterremo un nuovo triangolo che sarà:
- anche pitagorico
- non più primitivo (per k> 1)
- simile al triangolo pitagorico primitivo padre a\_0, b\_0, c\_0
- più grande del triangolo pitagorico primitivo genitore a\_0, b\_0, c\_0
Segue quindi che esistono infiniti triangoli pitagorici non primitivi generati da un (singolo) dato triangolo pitagorico primitivo. Un dato Triangolo Pitagorico primitivo è il più piccolo nella sua famiglia perché le lunghezze dei suoi lati non possono essere ulteriormente ridotte. Non esistono due distinti triangoli pitagorici primitivi simili.
Osserviamo di sfuggita che normalmente non gettiamo in giro asserzioni matematiche pigramente – le proviamo subito, ma perché il fulcro di questa risposta non sono le dimostrazioni di le proprietà di cui sopra le consideriamo vere per il momento per fede (chiedi le prove pertinenti separatamente se interessati).
Pertanto, è tradizionalmente interesse iniziale recuperare le lunghezze dei lati di primitivo Triangoli pitagorici perché tutti gli altri triangoli pitagorici possono essere generati dalle loro controparti primitive come spiegato sopra.
Come esercizio, possiamo mostrare che una completa parametrizzazione delle soluzioni di ( 1 ) è data da:
a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
dove m e n sono tutte le coppie di interi coprimi di parità opposta con m> n. Il bit parità opposta significa che uno di questi numeri, non importa quale, deve essere dispari, mentre laltro – deve essere pari.
Ancora una volta, se sei interessato, fai una domanda separata su da dove proviene ( 2 ): saremo più che felici di presentare una deduzione di questo fatto fuori banda per non inquinare la risposta corrente con troppe informazioni tecniche.
Esiste una parametrizzazione alternativa delle soluzioni di ( 2 ) che omettiamo anche qui.
Consideriamo ora un triangolo rettangolo arbitrario con i lati aeb, lipotenusa c e il raggio r (Fig. 1):
Se aggiungiamo lequazione verde allequazione blu mostrata nella Figura 1 e utilizziamo lequazione grigia per x + y, troveremo:
c + 2r = a + b \ tag * {}
da dove:
r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}
Ora supponiamo che quanto sopra righ t triangolo è un primitivo triangolo pitagorico. Se prendiamo i valori di a, bec da ( 2 ) e li inseriamo in ( 3 ) quindi avremo:
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}
Qui gli m ^ 2 si annulleranno e gli n ^ 2 si raddoppieranno:
r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}
Calcolando 2n dal denominatore precedente, arriviamo a:
r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}
vale a dire che:
r = n (mn) \ tag {4}
che ci dice che in qualsiasi triangolo pitagorico primitivo la lunghezza del suo raggio è un numero intero (non dimenticare il vincolo m> n, vedi ( 2 )) perché una differenza di due interi è sempre un numero intero e un prodotto di due interi è sempre un numero intero.
Quindi, considera qualsiasi triangolo k non primitivo, ovvero considera un triangolo pitagorico le cui lunghezze di tutti i lati sono state ingrandito uniformemente da un numero intero strettamente positivo k> 1. Poiché tali lunghezze entrano nellequazione ( 3 ) come termini strettamente lineari, per ottenere la lunghezza del raggio inradius corrispondente tutto ciò che dobbiamo fare è moltiplicare il RHS di ( 4 ) di k:
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
Pertanto, in entrambi i casi, la lunghezza dellinradius di un triangolo pitagorico è sempre un numero intero perché gli oggetti (i numeri) sulla destra di ( 4 , 5 ) sono sempre: una differenza di due numeri interi è sempre un numero intero e un prodotto di due interi è sempre un numero intero.
Nota che il lequazione ( 5 ) può essere letta da destra a sinistra . Ciò significa che possiamo prendere gli interi k, m, n come input e quindi utilizzare ( 5 ) per generare un inradius integrale come output.
Ora proviamo ad andare nella direzione opposta: vediamo se possiamo inserire un ordine sulla lunghezza di un raggio e in base a questa informazione recuperare le lunghezze del triangolo pitagorico corrispondente.
Apparentemente lo stesso Pitagora, molti anni fa, riuscì a produrre una parziale parametrizzazione delle soluzioni di ( 1 ) studiando i Triangoli Pitagorici le cui lunghezze dei lati più corti formano una sequenza di numeri naturali dispari consecutivi a = 2n + 1.
In tal caso, affinché i numeri rilevanti rimangano interi la lunghezza del lato be la lunghezza dellipotenusa c di un triangolo pitagorico misterioso devono differire di ununità: c = b + 1. Quindi, da ( 1 ) abbiamo:
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
Aprendo la parentesi sopra:
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
vediamo che i b ^ 2 e gli 1 si annullano:
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}
vale a dire che:
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
Reinserendo questi valori in ( 3 ) , scopriamo che:
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
Non è carino?
Quindi, il riferimento per lordinamento.
In altre parole, se ci dai un numero naturale arbitrario n> 0, saremo in grado di generare un triangolo pitagorico che ha esattamente le proprietà che richiedi:
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
significa che la precedente famiglia di formule enumera la lunghezza integrale dellinradius di un triangolo con le lunghezze integrali dei suoi lati tramite linsieme di numeri naturali \ mathbb {N}.
Significa anche che possiamo scrivere un programma per computer, diciamo, nel linguaggio di programmazione C come mezzo, prima del tempo che genererà i triangoli richiesti su richiesta:
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
Supponendo di aver salvato il codice sopra nel file ptr.c, crealo in questo modo:
gcc -g - o ptr ptr.c
ed eseguilo in questo modo:
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
dove per un brivido economico abbiamo, drammaticamente, incluso lipotenusa di lunghezza 365.
Il nostro programma accetta un mucchio di numeri naturali dal prompt dei comandi e per ciascuno di questi numeri n genera un pitagoricoTriangolo le cui lunghezze i cui lati garantiscono che la lunghezza dellinradius di quel triangolo sia uguale al numero naturale di input n.
Il formato del nostro output è: la prima colonna mostra il valore dellinradius n, la seconda la colonna mostra il valore di a, la terza colonna mostra il valore di be la quarta colonna mostra il valore di c.
Inoltre, larea S dei nostri triangoli pitagorici:
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
è anche garantito come un numero intero perché linserimento dei valori di aeb da ( 2 ) a ( 9 ), troviamo:
S = \ dfrac {\ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) mn \ tag * {}
che è sempre un numero intero.
Infine, la situazione con arbitrary, read – non right, triangles è più delicata.
Se suddividiamo un triangolo di questo tipo in tre triangoli più piccoli strettamente, senza spazi e senza sovrapposizioni, come mostrato di seguito (Fig.2):
allora, perché in questo caso il tutto è uguale alla somma delle sue parti, per larea S di un tale triangolo avremo:
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
vale a dire che:
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
se siamo daccordo che P è il perimetro completo del triangolo e quella p è il semiperimetro del triangolo.
Segue quindi che per il valore di inradius r abbiamo:
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
Quindi, affinché r sia un intero, allora o P deve dividere interi 2S o p deve dividere interi S.
Per il bene dellargomento, accettiamo di chiamare non planare triangoli rettangoli le cui lunghezze tutti i lati sono numeri interi e la cui area è un numero intero Diophantine .
Ora esistono triangoli diofantini (compositi) tale che:
- siano compo sed di due pitagorici triangoli lungo un lato comune e
- la lunghezza del loro raggio interno è non un numero intero
Dimostrazione: larea del triangolo diottrico composito 5, 5, 6, che è composto da due 3,4,5 Triangoli Pitagorici lungo il lato b = 4, è 12, mentre la lunghezza del suo semiperimetro è 8. Ma 8 non divide interi 12. \ blacksquare
Là esistono triangoli diofantini (compositi) tali che:
- sono una composizione di due triangoli pitagorici lungo un lato comune e
- la lunghezza del loro raggio è un numero intero
Dimostrazione: larea del 13,14, 15 Il triangolo diofhantino composito, che è composto da due triangoli pitagorici 5,12,14 e 9,12,15 lungo il lato b = 12, è uguale a 84, mentre il suo semiperimetro è uguale a 42. Ma 42 divide interi 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
Esistono triangoli diofantini (non compositi?) Tali che:
- non possono essere composti da due triangoli pitagorici ma
- la lunghezza del loro raggio interno è un numero intero
Dimostrazione: larea del triangolo 65.119.180 è uguale a 1638, mentre il suo semiperimetro è 182. Ma 182 divide interi 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.
In un triangolo rettangolo candidato con i lati aeb, due volte larea 2S è uguale al prodotto di aeb, vedere ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Pertanto, entrambi i numeri aeb devono dividere 2S.
È questo il caso del nostro triangolo?
No.
Nessuna delle lunghezze dei lati di il nostro triangolo divide la grandezza pari a 1638 \ cdot 2.
Ecco perché: la scomposizione in fattori primi di 1638 \ cdot 2 è uguale a 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
Le prime fattorizzazioni delle lunghezze dei lati del nostro triangolo sono :
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
Pertanto, la lunghezza senza altezza del nostro triangolo può essere espressa come un numero intero (naturale) e, quindi, un tale triangolo diofantino non può essere composto da due Triangoli Pitagorici lungo un lato comune che deve svolgere il ruolo di altezza del triangolo bersaglio. \ blacksquare
Vediamo che per fare unaffermazione radicale sulla lunghezza dellinradius di un triangolo diofantino dobbiamo intraprendere unanalisi più attenta della situazione e, con ogni probabilità, guardare a triangoli razionali .
Spero di non aver complicato troppo la nostra discussione, ma è quello che è: teoria dei numeri per lo più elementare.