Risposta migliore
I numeri razionali sono relativamente semplici. Sono una coppia ordinata di interi (m, n) con n \ neq0 sotto la relazione di equivalenza:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
Cosa? Sarebbe dovuto essere semplice? Beh si. Tutta quellequivalenza ingannevole era solo per assicurarsi che la metà fosse la metà sia che fosse (1,2) o (2,4) o anche (-33, -66). E sarebbe tutto più familiare se lo scrivessi come \ frac12 = \ frac24 anziché (1,2) \ equiv (2,4) perché 1 \ times4 = 2 \ times2. Ma, in senso stretto, questo è ciò con cui inizia una definizione rigorosa di numeri razionali.
Ora che le cose facili sono affrontate, cosè un numero reale? Nonostante il loro nome e la loro ubiquità i numeri reali sono piuttosto bestie complicate. Forse la costruzione più semplice che corrisponde alla nostra intuizione è quella di Dedekind cut . Un taglio Dedekind dei numeri Razionali, \ Q, è una partizione in due insiemi non vuoti (A, B) tali che A \ cup B = \ Q, ogni elemento di A è strettamente minore di ogni elemento di B e A non ha lelemento più grande. Lo so, la tua testa gira già, ma il idea è molto semplice: ad un certo punto stiamo solo tagliando la linea numerica: tutti i razionali a sinistra sono in A e tutti i razionali a destra (o il punto) sono in B. Se B ha un elemento minimo il nostro taglio era a un numero Razionale. Se B non ha un elemento minimo il nostro taglio era a un Numero irrazionale Il seguente rappresenta s il taglio Dedekind per la radice quadrata di due (un numero irrazionale):
(Fonte: File: Dedekind cut- radice quadrata di two.png – Wikipedia )
In ogni caso il taglio, (A, B), rappresenta un numero reale. Poiché B = \ Q \ setminus A, possiamo rappresentare un numero reale per A stesso: un insieme non vuoto di numeri razionali che è chiuso sotto e non ha alcun elemento maggiore. In un certo senso i numeri reali irrazionali riempiono gli “spazi vuoti” nei numeri razionali.
Un problema con questa intuizione degli “spazi vuoti” è che i numeri razionali sono densi nei reali – tra due qualsiasi distinti numeri reali cè un Razionale (in effetti infinitamente molti Razionali). Questo potrebbe farti pensare che ci sono almeno tanti numeri razionali quanti sono numeri irrazionali. Ma no, la cardinalità dellinsieme di numeri irrazionali è strettamente maggiore di quella dellinsieme di numeri razionali. In qualche modo il numero reale “alla fine” dellinsieme A di numeri razionali si unisce a una miriade di altri numeri reali che non posso descrivere in relazione allinsieme A. Come ho detto, i numeri reali sono bestie complicate: la maggior parte di loro non possono nemmeno essere descritti nonostante la loro presunta “realtà”.
Sto suggerendo una differenza fondamentale tra numeri razionali e reali numeri che richiedono davvero una laurea in matematica per comprendere correttamente, ma spero che tu abbia almeno un assaggio della differenza se non un pieno apprezzamento delle sottigliezze.
Risposta
I numeri reali sono numeri compresi tra i numeri razionali . Che cosa significa veramente questa affermazione?
Considera la radice quadrata di 2. Si può dimostrare che non è razionale. Ma possiamo scoprire qual è il suo valore, con qualsiasi grado di accuratezza, identificando tutti i razionali che sono inferiori a esso e tutti i razionali superiori a esso. È compreso tra due insiemi di numeri razionali.
Questo è vero per qualsiasi numero reale, a meno che non sia anche razionale. Per ogni numero reale, cè un insieme di numeri razionali che sono tutti minori o uguali ad esso, e un altro insieme di razionali che sono tutti maggiori o uguali ad esso, e ogni razionale è nelluno o nellaltro di questi due insiemi . Questo tipo di partizione dei razionali è la chiave per costruire i numeri reali dai razionali per mezzo dei tagli di Dedekind.
Considera due insiemi di numeri razionali, L (inferiore) e H (superiore), in modo tale che ogni numero in H è maggiore di ogni numero in L, e i due insiemi insieme includono ogni numero razionale. Sappiamo che tali insiemi L e H esistono per ogni numero reale che possiamo calcolare algebricamente, ma quelli non sono gli unici insiemi di questo tipo.
In generale, L potrebbe avere un numero più alto, Lmax, o H potrebbe avere un numero più basso Hmin. In quei casi, Lmax o Hmin sarebbe il limite superiore di L e il limite inferiore di H, e sarebbe razionale. Se né Lmax né Hmin esistono – e sappiamo che non lo saranno se creiamo gli insiemi da un numero irrazionale noto – definiamo il limite superiore di L (che è anche il limite inferiore di H) come un numero reale.
In effetti, ogni volta che approssimiamo un numero irrazionale di una frazione decimale, creiamo una tale partizione. Ad esempio, se diciamo che un numero irrazionale è 1,2345 …, quello che stiamo dicendo è che è maggiore di 1,2345 ma inferiore a 1.2346, e mentre scriviamo più numeri nellespansione decimale aggiungiamo più numeri agli insiemi di cui è maggiore e minore.
Usando queste espansioni decimali possiamo derivare unimportante differenza tra i numeri razionali e numeri reali. I numeri razionali sono numerabili ; cioè, possono essere posti in corrispondenza uno-a-uno con gli interi. I numeri reali non sono numerabili.
Qual è la differenza tra numeri reali e razionali?