Migliore risposta
Prima di tutto, \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Ora, rappresenterò la funzione radice quadrata dalla sua serie di Taylor. Calcolerò questa serie di Taylor circa 16, giusto per essere al riparo da qualsiasi raggio di convergenza fastidioso. Quindi, approssimerò \ sqrt {20} impostando x = 20 nella serie.
La definizione della serie di Taylor di qualsiasi funzione anlitica f \ left (x \ right) è la seguente:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Qui, f ^ {\ left (n \ right)} denota lennesima derivata di f. Dovremo calcolare molte derivate e, si spera, ci sarà un modello abbastanza facilmente visibile.
f \ left (x \ right) denoterà dora in poi \ sqrt {x}.
La derivata “zero” di f è semplicemente f. Avrò f \ left (16 \ right) come coefficiente del primo termine della serie. (Ricorda, ho deciso di centrare la serie di Taylor intorno a 16 . La radice quadrata di 16 è abbastanza facile: è solo 4 . Quattro quattro fanno 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Va bene. Le cose si faranno un po impegnative. Ora dobbiamo calcolare la derivata di \ sqrt {x}.
La regola del potere dice che \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. In questo caso, n = \ frac {1} {2} (dato che \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Pertanto, \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {X}}. Il coefficiente successivo della serie è quindi \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} o semplicemente \ frac {1} {8}.
Il termine successivo nella serie di Taylor sarà quindi f “\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} o semplicemente \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Ecco la somma parziale fino ad ora:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Ok. Ora, dobbiamo calcolare la seconda derivata di f \ left (x \ right), o semplicemente calcolare la derivata di \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Questo richiederà luso della Regola della catena perché abbiamo una funzione composta allinterno di unaltra. Una funzione sarà dora in poi indicata con g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, e laltra sarà di seguito indicata con h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. La funzione di cui vogliamo trovare la derivata è: f “\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. In altre parole, vogliamo trovare la derivata di g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
La regola della catena dice che \ frac {\ text {d}} {\ testo {d} x} g \ sinistra (h \ sinistra (x \ destra) \ destra) = g “\ sinistra (h \ sinistra (x \ destra) \ destra) h” \ sinistra (x \ destra).
La derivata di g \ left (x \ right) è – \ frac {1} {x ^ 2} (per la regola del potere). La derivata di h \ left (x \ right) è \ frac {1} {\ sqrt {x}} (secondo la regola del potere e la proprietà che implica \ left (cf \ left (x \ right) \ right) ” = cf “\ left (x \ right)).
Ora abbiamo quel \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ sinistra (\ sqrt {x} \ destra) ^ 3}. Il terzo coefficiente della serie è quindi – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (o più semplicemente – \ frac {1} {256}).
Il terzo termine della serie è: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
Lintera somma parziale fino ad ora:
f \ sinistra (x \ destra) = 4 \ frac {\ sinistra (x-16 \ destra) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ sinistra ( x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots
Passo ora a calcolare la quarta derivata di f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
Il quarto termine nella sequenza sarà \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
La somma ora ha quattro termini:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ a destra) ^ 3} {3!} + \ cdots
Se continuiamo con questo modello, otterremo il seguente modello di coefficienti:
\ frac {1} {0.25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Ora è il momento di trovare un pattern ed esprimere il sequenza con una formula esplicita.
Lennesimo denominatore può essere rappresentato da b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) che semplifica a b\_n = 2 ^ {5n-2} (con il valore iniziale di n come 0). È stato facile. E i numeratori?
Ecco la serie di numeratori (ignorando lalterazione del segno, di cui ci occuperemo in seguito):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
Lo schema dei numeratori è piuttosto semplice. Prendi 945 e dividilo per 105. Ottieni 9. Quindi, prendi 105 e dividilo per 15. Ottieni 7. Continuando: 15 diviso per 3 è 5, 3 diviso per 1 è 3 e 1 diviso per 1 è 1. I prodotti di numeri dispari sono coinvolti qui.
Il termine \ sinistra (n + 2 \ destra) nella sequenza dei numeratori (esclusa lalternanza) è quindi:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
La formula per i numeratori è in forma di notazione pi greco. Sarebbe meglio se fosse espresso usando in qualche modo la notazione fattoriale.
Se dividiamo il prodotto dei primi 2n + 2 interi per il prodotto dei numeri interi pari da 2 a 2n, otterremo il prodotto degli interi dispari da 1 a 2n + 1. In altre parole,
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Ora possiamo eliminare la notazione pi greco e sostituirla con unespressione più piccola ed elegante. Come puoi vedere, il 2 nel termine viene moltiplicato per se stesso n + 1 volte. Quindi, possiamo estrarre il 2, posizionarlo davanti al pi maiuscolo e quindi aumentare il 2 alla potenza di n + 1. Questo ci lascia con:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
Lequazione sopra può essere scritta più semplicemente come:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ sinistra (n + 1 \ destra)!}
Avrai già notato che la serie data dallespressione direttamente sopra è scostata di due termini. Per risolvere questo problema, tutto ciò che dobbiamo fare è trovare tutti gli n nella formula del denominatore e sommarli per 2. Dovremo fare lo stesso anche con il resto dei termini con potenze di x.
La formula del denominatore è infine 2 ^ {5n + 8}.
Dato che abbiamo spostato le serie, dobbiamo ancora includere quelle che sono state escluse, da qualche parte nellespressione. Ci saranno altri termini che appariranno prima della notazione sigma nellespressione. Questi termini sono 4 e \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
Il coefficiente di ogni termine nella serie sarà:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
che semplifica fino a:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
Questa è la formula per lennesimo coefficiente per la serie (questo escludeva i primi due termini perché quei termini causerebbero errori nella formula per t\_n).
Ora possiamo iniziare a scrivere la notazione sigma (ricorda, abbiamo spostato la serie per eliminare i termini impertinenti, quindi ci saranno alcune cose allinizio della notazione sigma).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
È una serie alternata che inizia con un negativo, quindi dovremo moltiplicare i termini per la (n + 1) esima potenza di -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ right) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ sinistra (-1 \ destra) ^ {n + 1} \ sinistra (2n + 2 \ destra)!} {2 ^ {6n + 9} \ sinistra (n + 1 \ destra)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Ripulito:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ sinistra (-1 \ destra) ^ n \ sinistra (2n \ destra)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ sinistra (n + 1 \ destra)!}
HA!
Ora abbiamo la serie di Taylor per questa cosiddetta funzione “radice quadrata”, che sicuramente non è una cosa sulle calcolatrici. Ora, tutto ciò che resta da fare è approssimare la radice quadrata di venti utilizzando la serie di taylor che abbiamo appena scoperto.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right) )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Semplificato:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4.5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Ho digitato lespressione precedente in Desmos e ho sostituito \ infty con 15. Desmos ha valutato la somma. Quindi, la radice quadrata di venti è approssimativamente 4,472135955.
Ho approfondito questa risposta perché altrimenti sarebbe abbastanza noioso.
Chiunque possa utilizzare Internet ha accesso anche al la più scientifica delle calcolatrici. La funzione radice quadrata è sempre disponibile 24 ore su 24, 7 giorni su 7, 365 giorni lanno. Grazie a questo fatto, controllerò la mia risposta.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
Grazie per la lettura.
Risposta
Bene, proviamo senza calcolatrice .
Trova il numero il cui quadrato è appena inferiore a 20, è 4.
Trova uno il cui quadrato è appena superiore a 20 , è 5.
Quindi, 4 qrt (20)
Una volta identificato, calcola la media di questi due numeri che è 4,5
AM ≥ GM e GM = √4 * 5 = √20.
Quindi abbiamo √20 ,5
Quindi, 4 qrt (20) ,5
Calcola 4,5 quadrati … 4 * 5 + 0,25 = 20,25 …
È solo un po alto …
Quindi, la risposta dovrebbe essere intorno a 4,5 solo non vicino a 4 .
Ora, proviamo a trovarlo “più correttamente”
Prendi f (x) = sqrt (x)
f “(x) = o.5 / sqrt (x)
Ora, f (20.25) = 4.5, f (20) =?
Prendi ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f “(x)
(serie di Taylor troncata al primo ordine oppure puoi chiamare Newton Metodo Raphson)
Ora, sostituendo x e ∆x, abbiamo,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – 0,111 / 4
= 4,5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4,5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2,5 + 0,25]
= 4,5 -0,027775
= 4,472225
Quindi, sqrt (20) ~ 4.472225
E questo è ciò che Google ha offerto come risposta.
Quindi, la nostra risposta non è poi così male !!