Migliore risposta
Ad Abhinav Rk: hai pubblicato questa domanda quasi tre anni fa, quindi forse tu non sono più interessati a una risposta. Tuttavia, ritengo che la tua domanda sia stata fraintesa in altri tentativi di risposta. Penso che tu stia chiedendo la formula matematica codificata in Excel dalla funzione PMT, quando cè un valore futuro FV diverso da zero . Nella ricerca della tua domanda, non sono riuscito a trovare un singolo esempio in cui è stato fatto un tale calcolo, per non parlare di una discussione sulla matematica dietro di esso. Ecco il mio tentativo di comprendere il problema, con la dichiarazione di non responsabilità che conosco solo con le presentazioni più semplici possibili di matematica finanziaria, facendo affidamento per la maggior parte sul capitolo 8 del libro di testo universitario “Thinking Mathematical”, di Robert Blitzer, 7a edizione, Pearson, 2019. Non sono in alcun modo un esperto di matematica finanziaria.
Supponiamo di iniziare con la formula per calcolare il pagamento periodico ( deposito) in un conto di rendita necessaria per ottenere una rendita A. Questo è dato da
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {A \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ right)} {\ left [\ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} – 1 \ right]}. \ tag {1} \ end {equation}
dove r è il tasso di interesse espresso come decimale, n è il numero di pagamenti allanno (ad esempio, n = 12 se vengono effettuati pagamenti / depositi mensili effettuato) e t è il numero di anni per i quali viene effettuato il pagamento. Per riferimento, il prodotto n \ volte t è uguale alla variabile “Nper” utilizzata in Excel.
Se un importo PV viene preso in prestito su un prestito, viene fornito il valore futuro del prestito in queste condizioni dalla formula dellinteresse composto:
\ begin {equation} FV\_0 \, = \, PV \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt}. \ tag {2} \ end {equation}
In genere, vorresti estinguere il prestito con un pagamento pari al deposito che sarebbe richiesto per ottenere unannualità pari a questo valore futuro, A = FV\_0, nel qual caso il valore futuro del prestito sarebbe ridotto a FV\_0 = 0 (sto distinguendo questo valore futuro con un pedice 0, che probabilmente sembra piuttosto sconosciuto, ma penso che questa notazione renda la matematica più comprensibile).
Se, tuttavia, desideri effettuare un pagamento che lascia una parte non pagata del prestito, ovvero un valore futuro diverso da zero FV del prestito, quindi è necessario impostare i pagamenti su unannualità A che riduce il valore futuro a FV = FV\_0 – A. Risolvendo questo per A, il valore dellannualità da sostituire nellequazione (1) è quindi A = FV\_0 – FV, e il pagamento è dato da
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {(FV\_0 – FV) \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ right)} {\ left [\ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} – 1 \ right]}. \ tag {3} \ end {equation}
Sostituendo FV\_0 dallequazione (1), questo può essere scritto come
\ begin {equation} PMT \, = \, \ dfrac {(PV \ times C \, – \, FV) \, \ left (\ dfrac {r} {n} \ right)} {C – 1}, \ tag {4} \ end {equation}
dove
\ begin {equation} C \, = \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} \ tag {5} \ end {equation}
è il fattore di composizione.
Nella risposta di Abhinav Rk, viene fornito un problema di esempio con il valore principale PV = 30000, r = 6.5 \\% = 0.065, t = 5 anni e FV = -9000. Continua, riferendosi al pagamento richiesto per questo esempio, chiedendo “Come posso calcolarlo manualmente”? Excel gli fornisce il valore \ $ 459 come soluzione.
Per il suo esempio, trovo per il fattore di composizione (nota che per usare la formula che ho derivato, il valore futuro deve essere considerato positivo: FV = 9000):
\ begin {equation} C \, = \ , \ left (1+ \ dfrac {0.065} {12} \ right) ^ {12 \ times 5} = 1.382817, \ tag * {} \ end {equation}
e quando viene sostituito in equation (4) ottengo
\ begin {equation} PM T \, = \, \ dfrac {(30000 \ times 1.382817 – 9000) \, \ left (\ dfrac {0.064} {12} \ right)} {0.382817} = \ $ 459.64, \ tag * {} \ end {equation }
in buon accordo con quanto ha ottenuto utilizzando Excel.
Supponendo di aver sviluppato correttamente le equazioni, spero che questo possa essere utile a te o ad altri interessati alla stessa domanda.
Risposta
Dalla Guida ufficiale di Excel 2016:
Funzione PMT – Supporto di Office
Sintassi
PMT (rate, nper, pv, [fv], [type])
Nota: Per una descrizione più completa degli argomenti in PMT, vedere la funzione PV.
La sintassi della funzione PMT ha seguenti argomenti:
- Tariffa Obbligatorio. Il tasso di interesse per il prestito.
- Nper Obbligatorio. Il numero totale di pagamenti per il prestito.
- Pv Obbligatorio.Il valore attuale, o limporto totale che vale ora una serie di pagamenti futuri; noto anche come principale.
- Fv Facoltativo. Il valore futuro o un saldo di cassa che desideri ottenere dopo aver effettuato lultimo pagamento. Se fv viene omesso, si presume che sia 0 (zero), ovvero il valore futuro di un prestito è 0.
- Tipo Opzionale. Il numero 0 (zero) o 1 e indica la scadenza dei pagamenti.
- Imposta tipo uguale a:
- 0 o omesso Se i pagamenti sono dovuti Alla fine del periodo
- 1 Se i pagamenti sono dovuti Allinizio del periodo
Matematicamente questo può essere implementato come:
pmt = Rate * (Fv * -1 + Pv * (1 + Rate) ^ Nper)) / ((1 + Rate * Type) * (1- (1 + Rate) ^ Nper)
Make assicurati che le unità di Nper e Tassi siano coerenti e che sia tenuto conto del flusso di cassa in entrata / uscita appropriato.
Di seguito è riportata lequazione più semplice (senza Fv e tipo) https://en.wikipedia.org/wiki/Equated\_monthly\_installment
PMT = (Pv * Rate * (1+ Rate) ^ Nper) / [(1 + Vota) ^ Nper – 1]