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Quanto è grande il numero di Rayo rispetto al numero di Graham? È più grande. Molto più grande. È stato progettato per essere.
Il numero di Graham è enorme. È molto più grande dei normali numeri grandi come un Googolplex che capire quanto sia più grande può essere abbastanza sconvolgente. Tuttavia, nel campo dei numeri enormi, il numero di Graham non è eccezionale. Ci sono intere serie di numeri che sono stati concepiti che sono incredibilmente più grandi del Numero di Graham quanto il Numero di Graham è grande. Il Numero di Graham non è stato concepito, ricordate, per essere particolarmente grande; infatti, è sorto nel tentativo di trovare un più piccolo limite superiore a un problema matematico (e da allora sono stati trovati limiti superiori molto più piccoli per questo problema!). Lunica cosa che era speciale del numero di Graham era che, allepoca , era il numero più grande utilizzato in una dimostrazione o derivazione matematica significativa.
Altri numeri che lasciano il numero di Graham da allora sono stati derivati o usati in prove significative. Un esempio è TREE (3) , ma ce ne sono anche molti altri.
Il numero di Rayo è leggermente diverso da tutti questi. Vedi, il numero di Rayo è stato concepito appositamente per essere un numero mostruosamente enorme. È, virtualmente per definizione, più grande di qualsiasi altro numero che abbiamo di cui ho parlato. È così più grande di tutti loro che non sappiamo nemmeno esattamente quanto sia grande: ma conosciamo un sacco di numeri spaventosamente enormi di cui sappiamo che deve essere più grande di!
Ovviamente, anche il numero di Rayo non è in alcun senso “il numero più grande”. Non esiste una cosa del genere. Possiamo sempre aggiungere uno a qualsiasi numero e ottenerne uno leggermente più grande. Possiamo aumentare qualsiasi numero a proprio potere e ottenere uno un po più grande. Ma il numero di Rayo è attualmente considerato il più grande numero finito a cui qualcuno si è preso la briga di dare un nome (escluse le estensioni banali, come il numero più uno di Rayo e simili).
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Il numero di Rayo i è molto più grande.
Spiegherò qual è il numero di Rayo, poi capiremo perché è molto più grande del numero di Graham.
Cè questo vecchio paradosso che fa più o meno questo: Sia N definito come “il più piccolo intero positivo non definibile in al massimo dodici parole inglesi”.
Ci si potrebbe chiedere, cosè N?
Ebbene, qualunque cosa N sia, è chiaramente definibile al massimo in dodici parole inglesi, ovvero le parole “Il più piccolo intero positivo non definibile al massimo in dodici parole inglesi”. Ma questa è una contraddizione, perché per definizione N non è definibile con dodici parole inglesi.
Paradosso! SpoooOoOoOky!
La risoluzione a questo paradosso, al di là del semplice fatto che “linglese” è vago in generale, è che “definibile” è particolarmente mal definito. Se quali numeri sono definibili dipende dalla parola “definibile” il cui significato dipende da quali numeri sono definibili, si ottiene una definizione circolare che non può essere risolta.
Perché ho sollevato questo paradosso?
Il numero di Rayo può essere visto come una “formalizzazione” di quanto sopra; utilizza un linguaggio matematico piuttosto che linglese e rende precisa la nozione di “definibilità”. Il numero di Rayo è
“Il più piccolo intero positivo più grande di qualsiasi intero positivo finito denominato da unespressione nella lingua del primo ordine impostato teoria con simboli googol o meno. “
Teoria degli insiemi del primo ordine — qui, che significa” logica del primo ordine nel dominio del universo di Von Neumann , che è un modello di Teoria degli insiemi di Zermelo – Fraenkel “, è un linguaggio matematico preciso. Questo il linguaggio formale ha la proprietà di non poter codificare circolarmente la stessa frase e creare un paradosso. (Puoi descrivere gli assiomi ZFC nella logica del primo ordine e persino descrivere un meccanismo per valutare le dimostrazioni e così via, ma tu non può creare un universo Von Neumann al suo interno.)
Allora, perché questo è più grande del numero di Graham?
Bene, il numero di Graham non è molto difficile da definire, puoi leggi la definizione su Wikipedia ed è del tutto elementare, in termini di up arr notazione che è definita dallesponenziazione. Certamente, puoi codificare il numero di Graham utilizzando al massimo, diciamo, 10.000 simboli. Sono conservatore qui. E il numero di Graham non è affatto vicino al numero più grande definibile in 10.000 simboli. Ma il numero di Rayo è più grande di qualsiasi numero definibile con googol = 10 ^ {100} simboli. È mostruosamente più grande del numero di Graham! In effetti, la teoria degli insiemi del primo ordine è in grado di parlare delle macchine di Turing, quindi il numero di Rayo è molto più grande anche di, diciamo, BusyBeaver (qualunque sia il numero grande a cui pensi).