Migliore risposta
Ci sono molte buone risposte scritte per aiutarti a visualizzare il significato di questa domanda al fine di raggiungere intuitivamente un risposta di 3. E nulla di ciò che scrivo qui ha lo scopo di togliere qualcosa al valore di quelle risposte. Stanno aiutando i nuovi studenti a pensare al legame tra matematica e modellazione in modo concreto, e questa è unabilità ENORME.
Detto questo, la matematica non è un modello. Quindi un modo alternativo di pensare a questo problema è da una prospettiva puramente matematica. E se sviluppi questa abilità, lavorerai per essere in grado di gestire tipi di matematica più astratti che spesso mettono fine alla carriera di matematica degli studenti che si affidano esclusivamente a un approccio più intuitivo e incentrato sui modelli.
Hai chiesto “Quanto fa 3/4 diviso 1/4?”
Proprio nel mezzo della tua domanda, hai usato il termine “diviso per”. Per un matematico, questo è un indizio per cercare immediatamente la DEFINIZIONE di divisione. Le definizioni sono i mattoni su cui è costruita la matematica.
Una definizione di divisione (in questo contesto) è:
Dati due numeri, aeb (con b \ ne 0), a diviso b è c se c volte b è uguale a.
Quindi ora so cosa significa “diviso per”. Possiamo applicare questa definizione al tuo problema? Bene, chiedi circa 3/4 diviso per 1/4. Sembra che tu abbia due numeri (il secondo dei quali non è zero) e vuoi conoscere il risultato del primo diviso per il secondo. Quindi sembrerebbe che questa definizione sia ESATTAMENTE ciò di cui hai bisogno.
Quindi ora inizia il gioco. La risposta al problema sarà qualsiasi numero, c, tale che \ frac 14 \ times c = \ frac 34.
Ecco la buona notizia. Ora sappiamo come controllare per vedere se una risposta è o meno la risposta giusta. Moltiplichiamo solo 1/4 per la risposta del candidato e se il risultato è 3/4, la risposta del candidato è corretta.
La cattiva notizia è che se la risposta del candidato NON è corretta, non siamo più vicini a trovare la risposta corretta. In altre parole, la definizione non ci aiuta a TROVARE la risposta giusta. Ci aiuta solo a verificare se una risposta candidata è corretta.
Allora cosa possiamo fare? Prova ed errore per sempre sembrano una cattiva idea. Sembra che sia giunto il momento di inventare una regola che ci dia sempre la risposta corretta.
Propongo questa regola. Dati due numeri aeb \ ne 0, a diviso b deve sempre essere uguale a a volte il reciproco di b (spesso indicato con \ frac 1b).
Prima di poter usare questa regola, ovviamente, dobbiamo assicurarci che funzioni sempre. Questo è ciò che chiamiamo una prova. La dimostrazione qui è semplice poiché la regola mi fornisce una soluzione candidata e la definizione mi dice esattamente come controllare una soluzione candidata.
È vero che a \ times \ frac 1b = a diviso b? Ebbene, la definizione dice che la risposta sarà c se c per b è uguale a a. Quindi possiamo moltiplicare il nostro candidato, a \ volte \ frac 1b per b per ottenere a? Poiché la moltiplicazione è commutativa, possiamo chiaramente farlo. E la regola è provata. (Abbiamo appena dimostrato il nostro primo teorema sulla divisione. Se le definizioni sono ai mattoni della matematica, i teoremi e le dimostrazioni sono la malta che le tiene insieme e consente loro di essere utilizzate per costruire grandi strutture.)
sembrerebbe che la risposta al nostro problema sia che 3/4 diviso 1/4 deve essere uguale al prodotto di 3/4 per il reciproco di 1/4. Grande! Giusto?
Bene, ora abbiamo cambiato il nostro problema di divisione in due problemi. Uno è un problema di moltiplicazione. Laltro è “Come faccio a trovare il reciproco di 1/4?”
Immagino che tu sappia come moltiplicare i numeri, quindi in realtà abbiamo solo una domanda su come trovare il reciproco. In realtà, questo è solo un altro problema di divisione. In realtà, ora ti sto chiedendo di trovare 1 diviso per 1/4. Allinizio non sembra una vittoria perché sono tornato a fare la divisione. Ma affermo che è una vittoria perché siamo passati dal dover capire come dividere QUALSIASI a per b al dover trovare 1 diviso per b per qualsiasi b diverso da zero. E la buona notizia è che è FACILE imparare a indovinare il giusto reciproco. E una volta indovinato, puoi verificarlo poiché è proprio quello che la definizione ti dice come fare.
Il reciproco di 1/4 è 4. Possiamo verificarlo poiché il reciproco significa 1 diviso 1 / 4, e la definizione dice che 4 è la risposta fintanto che 4 moltiplicato per 1/4 dà 1. E in effetti è vero.
Quindi, alla fine, abbiamo imparato che 3/4 diviso 1 / 4 è uguale a 3/4 per 4. E dato che so moltiplicare (ad esempio sommando 4 copie del numero 3/4), concludo che la risposta è 3. E se sto davvero attento, io torna indietro e controlla il risultato usando la definizione solo per essere sicuro di non aver commesso errori. Quindi 1/4 moltiplicato per 3 è uguale a 3/4? In effetti lo è, quindi è stato verificato che 3 sia la soluzione corretta.
Ora, quella risposta sembra DAVVERO lunga e complicata, specialmente per un principiante in matematica. Lo capisco.In effetti otterrai la risposta molto più velocemente con una calcolatrice o Google o utilizzando alcune tecniche (non dimostrate) che la maggior parte di noi impara presto a scuola. Ma non è affatto questo il punto.
Ciò che abbiamo veramente imparato non è la risposta a QUESTO problema. Quello che abbiamo veramente imparato è che fare la divisione di QUALSIASI DUE numeri ci richiede di sapere come fare due cose. Per prima cosa, dobbiamo sapere come dividere UNO per qualsiasi numero (diverso da zero) per ottenere un reciproco. In secondo luogo, dobbiamo sapere come moltiplicare due numeri qualsiasi. E questa verità è molto più interessante e profonda che conoscere la risposta a questa domanda. Perdona la metafora abusata, ma sta insegnando a un uomo a pescare piuttosto che dargli un pesce.
E il vero potere è che mette la divisione in un contesto che gli consente di poter essere generalizzato. E le generalizzazioni della divisione di due numeri portano a idee importanti. Ed è proprio di questo che si occupa la matematica!
Risposta
Michael Lamar spiega molto bene nella sua risposta perché comprendere la nozione astratta di divisione è matematicamente più importante della risposta specifica a \ frac34 \ div \ frac14, quindi mi immergerò direttamente nella generalizzazione:
Che cosè \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
In a Campo ogni elemento diverso da zero a ha un inverso moltiplicativo univoco a “tale che
\ quad a \ times a” = a ” \ times a = 1 lidentità moltiplicativa.
La divisione è definita in termini di moltiplicazione:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a “
Linverso moltiplicativo di una frazione è dato invertendo la frazione perché:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1 quindi \ left (\ frac {p} {q} \ right) “= \ frac {q} {p} (eccetto p = 0).
Quindi la nostra divisione è data da:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
Per un matematico in erba questo risponde alla domanda, almeno nel contesto di un campo. Il vero matematico (puro) vorrà quindi vedere come può generalizzare ulteriormente.
Altri saranno più interessati a ottenere la risposta specifica alla domanda originale istanziando n = 3, m = 4, p = 1, q = 4 per ottenere:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Ancora non abbastanza 3 ma ci si arriva con un po più di astrazione: un esercizio che lascio al lettore interessato.
Per inciso, per quel matematico in erba, potresti voler controllare che nel campo finito \ mathbb F\_5 abbiamo:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 perché \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 e \ frac12 \ equiv3