Risposta migliore
1×1
Spiegazione: supponi , La prima matrice è di dimensione a * be la seconda matrice è di dimensione c * d (a & c corrispondono a riga e b & d corrispondono a colonna).
La moltiplicazione di matrici tra le due matrici sarà possibile solo se b = c e la matrice risultante avranno dimensione a * d.
Qui a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. come b = c, possiamo moltiplicare quindi e la matrice risultante avrà dimensione a * d (1 * 1)
Risposta
La matrice arbitraria due per due è
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
Può avere un inverso moltiplicativo A ^ {- 1} con la proprietà AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, la matrice dellidentità, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
Troviamo linverso, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
Abbiamo due sistemi lineari separabili due per due,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
Facciamo il primo, risolvendo per x e z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Dallaltro sistema otteniamo
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
e similmente
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Mettendo tutto insieme vediamo
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
La quantità | A | = \ det (A) = ad-bc è chiamato determinante . È diverso da zero proprio quando la matrice ha un inverso. Il determinante è moltiplicativo: il determinante del prodotto di due matrici quadrate è il prodotto dei loro determinanti.
La matrice \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} è chiamata adjugate denotato \ textrm {adj} (A).
Controlliamo che A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; I, la matrice che è tutta zero tranne che per il determinante lungo le diagonali.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark
La risposta alla domanda è, se il denominatore non è zero,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
è la matrice che moltiplichiamo per
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
per ottenere lidentità.