Se moltiplichi una matrice 1×2 per una matrice 2×1, quali sono le dimensioni della matrice risultante?


Risposta migliore

1×1

Spiegazione: supponi , La prima matrice è di dimensione a * be la seconda matrice è di dimensione c * d (a & c corrispondono a riga e b & d corrispondono a colonna).

La moltiplicazione di matrici tra le due matrici sarà possibile solo se b = c e la matrice risultante avranno dimensione a * d.

Qui a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. come b = c, possiamo moltiplicare quindi e la matrice risultante avrà dimensione a * d (1 * 1)

Risposta

La matrice arbitraria due per due è

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

Può avere un inverso moltiplicativo A ^ {- 1} con la proprietà AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, la matrice dellidentità, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.

Troviamo linverso, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}

AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}

Abbiamo due sistemi lineari separabili due per due,

ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1

Facciamo il primo, risolvendo per x e z.

adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0

(ad-bc) x = d

x = \ dfrac {d} {ad-bc}

acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0

z = \ dfrac {-c} {ad-bc}

Dallaltro sistema otteniamo

ady + bdw = 0, bcy + bdw = b

y = \ dfrac {-b} {ad-bc}

e similmente

z = \ dfrac {a} {ad-bc}

Mettendo tutto insieme vediamo

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

La quantità | A | = \ det (A) = ad-bc è chiamato determinante . È diverso da zero proprio quando la matrice ha un inverso. Il determinante è moltiplicativo: il determinante del prodotto di due matrici quadrate è il prodotto dei loro determinanti.

La matrice \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} è chiamata adjugate denotato \ textrm {adj} (A).

Controlliamo che A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; I, la matrice che è tutta zero tranne che per il determinante lungo le diagonali.

A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark

La risposta alla domanda è, se il denominatore non è zero,

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

è la matrice che moltiplichiamo per

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

per ottenere lidentità.

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