Migliore risposta
Un pentagono regolare non si tassella.
Affinché un poligono regolare tasselli vertice-vertice, linterno langolo del poligono deve dividere uniformemente 360 gradi. Poiché 108 non divide 360 in modo uniforme, il pentagono regolare non si tassella in questo modo.
Cercare di posizionare uno dei vertici su un bordo da qualche parte invece che sul vertice non funziona per ragioni simili, gli angoli non non corrispondono.
Ci sono, tuttavia, molti pentagoni che si tessellano, come nellesempio sotto, che affianca vertice-vertice. Puoi vedere che gli angoli di tutti i poligoni attorno a un singolo vertice si sommano a 360 gradi.
La verifica della condizione dellangolo è non lunica condizione richiesta per vedere se i poligoni si tessellano, ma è molto facile da controllare.
Risposta
Solo tre poligoni regolari tessellate: triangoli equilateri, quadrati ed esagoni regolari.
Nessun altro poligono regolare può tessellare a causa degli angoli degli angoli dei poligoni. Per tassellare un piano, un numero intero di facce deve potersi incontrare in un punto. Per i poligoni regolari, ciò significa che langolo degli angoli del poligono deve dividere 360 gradi. Inoltre, per tutti i poligoni convessi la somma degli angoli esterni deve essere sommata a 360 gradi, e per i poligoni regolari ciò significa che gli angoli esterni devono essere uguali e sommati a 360 gradi. Ciò significa che langolo interno di un normale n-gon è 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. Il numero di n-gons regolari che puoi inserire dietro un angolo è quindi \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2} ed è possibile solo quando si tratta di un numero intero .
I triangoli equilateri hanno 3 lati, quindi puoi adattare \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 triangoli equilateri attorno a un punto. La tassellatura non è esclusa.
I quadrati hanno 4 lati, quindi puoi adattare \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 quadrati attorno a un punto. La tassellatura non è esclusa
I pentagoni hanno 5 lati, quindi puoi inserire \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pentagoni attorno a un punto. Questo non è un numero intero, quindi la tassellazione è impossibile.
Gli esagoni hanno 6 lati, quindi puoi inserire \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 esagoni. La tassellatura non è esclusa.
Ma più lati di questo? Beh, non è possibile. Nota che \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2} e che 2 < \ frac {2n} {n-2}, quindi per n> 6, hai 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, quindi per eptagoni regolari, ottagoni, nonagoni, ecc., non è possibile inserire un numero intero intorno a un punto.
Ciò non significa che non ci siano pentagoni, eptagoni, ottagoni, ecc. non pentagoni regolari, eptagoni regolari o ottagoni regolari, ecc.