Migliore risposta
Sì.
Si trova fuori dal triangolo.
H è lortocentro di \ Delta ABC.
Nota anche che \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Risposta
Come trovi il circumcentro e lortocentro di un triangolo ad angolo ottuso che si trova allesterno del triangolo?
Un modo per determinare il circumcenter e lortocentro per qualsiasi triangolo, ottuso o no, è utilizzando vettori e matrici.
Intro:
È “un po complicato, quindi non ci sarà” qualsiasi spazio per mostrare i calcoli.
Supponiamo di avere un triangolo con i vertici A, B e C e che le lunghezze dei loro lati opposti siano rispettivamente a, be c.
Definiamo tre vettori: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) e \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Ora, sin I vettori ce sono matrici, possiamo usare il formato matrice dove una T dopo un vettore significa che è trasposto. Quindi \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2} e \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Questi sono in realtà prodotti a punti.
Per evitare confusione, userò anche la notazione \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2} e \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Quindi, u \ equiv c, v \ equiv b , e w \ equiv a. Userò anche un cappello per rappresentare un vettore unitario, che è solo un vettore che è stato diviso per la sua lunghezza e quindi ha una lunghezza di 1. Ad esempio, \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Matrice di trasformazione:
Definiamo ora una matrice di trasformazione: se si lavora in 2 dimensioni sarà una matrice 2×2 e se si lavora in 3 dimensioni sarà una matrice 3×3. Nota che \ theta\_ {A} è langolo tra \ vec {u} e \ vec {v}, che è langolo al vertice A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Usiamo la matrice di trasformazione per definire un altro vettore.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Formule:
Sia H lortocentro, che è il punto in cui si intersecano tutte e tre le altitudini di un triangolo. Unaltitudine va da ciascun vertice su una linea perpendicolare alla sua gamba opposta.
Sia Q il circumcentro, che è il punto in cui si intersecano le bisettrici perpendicolari di tutti e tre i lati di un triangolo. È il centro del circumcircle, che è un cerchio che include tutti e tre i vertici di un triangolo.
Ora, con un po di lavoro, si può ora dedurre che
\ quad \ inizio {array} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Usando i vertici del triangolo citato come vettori, possiamo convertirli in formule simmetriche.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ destra) \ vec {A} + b ^ {2} \ sinistra (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ destra) \ vec {B} + c ^ {2} \ sinistra (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ destra) \ vec {C}} {\ sinistra (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B } + c ^ {2} \ sinistra (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ destra) \ vec {C}} {\ sinistra (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ destra) – \ frac {1} {2} \ sinistra (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Nota che nessuna radice quadrata e nessuna trigonometria ar e necessario per trovare i due centri.