ベストアンサー
有理数は比較的簡単です。これらは、同値関係の下でn \ neq0を持つ整数（m、n）の順序対です：
\ quad（a、b）\ equiv（c、d）\ Leftrightarrow ad = bc
なに？それは簡単なはずでしたか？はい、そうです。その同等のgobbledygookは、（1,2）または（2,4）、さらには（-33、-66）であるかどうかにかかわらず、半分が半分であることを確認することだけでした。そして、1 \ times4 = 2 \ times2であるため、（1,2）\ equiv（2,4）ではなく\ frac12 = \ frac24と書くと、すべてがより馴染みのあるものになります。しかし、厳密に言えば、それが有理数の厳密な定義から始まります。
簡単なことを扱ったので、実数とは何ですか？名前と普遍性にもかかわらず、実数はむしろ複雑な獣。おそらく、私たちの直感に対応する最も単純な構造は、デデキント切断の構造です。有理数のデデキント切断\ Qは、2つに分割されます。 A \ cup B = \ Q、Aのすべての要素がBのすべての要素よりも厳密に小さく、Aに最大の要素がないような、空でないセット（A、B）。あなたの頭はすでに回転していますが、 アイデアは非常に単純です。ある時点で数字の線を切り取っているだけです。左側のすべての有理数はAにあり、右側のすべての有理数は（またはポイント）はBにあります。Bの要素が最小の場合、カットは有理数でした。Bの要素がないの場合、カットの要素は最小でした。不合理な数。以下は■2の平方根のデデキント切断（無理数）：
（出典：ファイル：デデキント切断-two.pngの平方根-ウィキペディア）
どちらの方法でも、カット（A、B）は実数を表します。 B = \ Q \ setminus Aなので、実数をA自体で表すことができます。空でない有理数のセットで、以下で閉じられ、最大要素はありません。ある意味で、無理数は有理数の「ギャップ」を埋めます。
この「ギャップ」の直感の問題の1つは、有理数が実数内で密集していることです—任意の2つの異なる実数の間有理数があります（実際には無限に多くの有理数）。このは、少なくとも無理数と同じ数の有理数があると思わせるかもしれません。しかし、いいえ、無理数のセットのカーディナリティは、有理数のセットのカーディナリティよりも厳密に大きくなっています。どういうわけか、有理数のセットAの「最後」にある実数は、セットAに関連して完全に説明できない他の多数の実数によって結合されます。私が言ったように、実数は複雑な獣です。そのうちの「現実」を想定しているにもかかわらず、説明することすらできません。
私は有理数と実数の根本的な違いをヒントしています。正しく理解するには数学の学位が本当に必要な数字ですが、微妙な点を完全に理解していなくても、少なくとも違いを味わっていただければ幸いです。
回答
実数は有理数の間の数です。そのステートメントは実際にはどういう意味ですか？
2の平方根を考えてみてください。それは有理数ではないことを示すことができます。しかし、それよりも低いすべての有理数とそれよりも高いすべての有理数を特定することにより、その値がどの程度の精度であるかを知ることができます。これは、2組の有理数の間にあります。
これは、有理数でない限り、どの実数にも当てはまります。任意の実数に対して、すべてそれ以下の有理数のセットと、すべてそれ以上の別の有理数のセットがあり、すべての有理数はこれら2つのセットのいずれかにあります。この種の有理数の分割は、デデキント切断によって有理数から実数を構築するための鍵です。
L（低い）とH（高い）の2組の有理数を考えてみましょう。 Hのすべての数は、Lのすべての数よりも大きく、2つのセットを合わせてすべての有理数が含まれます。そのような集合LとHは、代数的に計算できるすべての実数に対して存在することがわかっていますが、そのような集合はこれらだけではありません。
一般に、Lは最大の数、Lmax 、、、またはHを持つ可能性があります。 Hminの数が最も少ない可能性があります。そのような場合、LmaxまたはHminがLの上限とHの下限になり、合理的です。 LmaxもHminも存在せず、既知の無理数からセットを作成した場合は存在しないことがわかっている場合、Lの上限（Hの下限でもある）を実数として定義します。
実際、無理数を小数で近似するたびに、そのようなパーティションを作成しています。たとえば、無理数が1.2345であると言う場合、私たちが言っているのは、1.2345より大きく1より小さいということです。2346、そして小数展開でより多くの数を書くと、それがより大きいか小さいセットにさらに多くの数を追加します。
これらの小数展開を使用して、有理数と 実数。 有理数は可算です。 つまり、整数と1対1で対応させることができます。 実数は数えられません。
実数と有理数の違いは何ですか？