ベストアンサー
直感的に到達するために、この質問の意味を視覚化するのに役立つ多くの良い回答が書かれています。そして、私がここに書くものは、それらの答えの価値から何かを奪うことを意図したものではありません。彼らは、新入生が数学とモデリングの関係について具体的に考えるのを助けています。それは非常に大きなスキルです。
とはいえ、数学はモデリングではありません。したがって、この問題について考える別の方法は、純粋に数学的な観点からです。そして、このスキルを身に付けると、より抽象的な種類の数学を処理できるようになり、モデル中心の直感的なアプローチのみに依存する学生の数学のキャリアを終わらせることがよくあります。
「3/4を1/4で割ったものは何ですか？」と質問しました。
質問の真ん中で、「で割った値」という用語を使用しました。数学者にとって、それは除算の定義をすぐに調べるための手がかりです。定義は、数学が構築されるレンガです。
除算の定義（このコンテキストでは）は次のとおりです。
aとb（b \ ne 0）の2つの数値が与えられます。 c×bがaに等しい場合、aをbで割るとcになります。
これで、「で割った」の意味がわかりました。この定義をあなたの問題に適用できますか？さて、あなたは約3/4を1/4で割ったものを尋ねます。これは、2つの数値（2番目はゼロではない）があり、最初の数値を2番目の数値で割った結果を知りたいようです。したがって、この定義はまさに必要なもののように思われます。
これで、ゲームが始まります。この問題に対する答えは、\ frac 14 \ times c = \ frac34のような任意の数cになります。
これが朗報です。これで、ある答えが正しい答えであるかどうかを確認する方法がわかりました。 1/4に候補の答えを掛けるだけで、結果が3/4の場合、候補の答えは正しいです。
悪いニュースは、候補の答えが正しくない場合、私たちは近づかないということです。正しい答えを見つける。言い換えれば、定義は私たちが正しい答えを見つけるのに役立ちません。候補者の答えが正しいかどうかを確認するのに役立つだけです。
では、何ができるでしょうか。試行錯誤は永遠に悪い考えのようです。常に正しい答えが得られるルールを考案する時が来たようです。
このルールを提案します。 2つの数値aとb \ ne 0が与えられた場合、aをbで割った値は、常にbの逆数の倍数に等しくなければなりません（多くの場合、\ frac 1bで示されます）。常に機能することを確認する必要があります。それが私たちが証明と呼んでいるものです。ルールは候補解を与え、定義は候補解をチェックする方法を正確に教えてくれるので、ここでの証明は簡単です。
a \ times \ frac 1b = aをbで割ったものは本当ですか？定義によれば、c×bがaに等しい場合、答えはcになります。では、候補a \ times \ frac 1bにbを掛けて、aを得ることができますか？乗算は可換であるため、明らかに可能です。そして、ルールは証明されています。 （除算に関する最初の定理を証明したばかりです。定義が数学のレンガにある場合、定理と証明はそれらをまとめて、優れた構造を構築するために使用できるようにするモルタルです。）
つまり、私たちの問題に対する答えは、3/4を1/4で割ったものが3/4と1/4の逆数の積に等しくなければならないということのように思われます。すごい！
さて、除算の問題を2つの問題に変更しました。 1つは乗算の問題です。もう1つは、「1/4の逆数を見つけるにはどうすればよいですか？」
数値を乗算する方法を知っていると仮定します。したがって、逆数を見つけることについて1つだけ質問があります。本当に、これは単なる別の除算の問題です。本当に、私は今あなたに1を1/4で割ったものを見つけるように頼んでいます。私は除算に戻ったので、最初はそれは勝利のようには思えません。しかし、私たちは、任意のaをbで除算する方法を理解する必要があったので、ゼロ以外のbについて1をbで除算する方法を見つける必要があるため、これは勝利だと主張します。そして良いニュースは、正しい逆数を推測する方法を学ぶのは簡単です。そして、推測したら、それが定義でその方法を示しているので、検証できます。
1/4の逆数は4です。逆数は、1を1で割ったものを意味するため、検証できます。 / 4であり、4に1/4を掛けると1になる限り、4が答えであると定義されています。実際、それは真実です。
最後に、3/4を1で割ったものであることがわかりました。 / 4は3/4×4に等しいです。そして、乗算する方法を知っているので（たとえば、数値3/4の4つのコピーを足し合わせることによって）、答えは3であると結論付けます。戻って定義を使用して結果をチェックし、エラーが発生していないことを確認します。では、1/4に3を掛けると3/4になりますか？確かにそうなので、3が正しい解決策であることが確認されました。
今、その答えは本当に長くて複雑に見えます—特に数学の初心者にとっては。わかりました。実際、電卓やGoogleを使用するか、ほとんどの人が学校の早い段階で習得している（証明されていない）テクニックを使用すると、はるかに早く答えを得ることができます。しかし、それはまったく重要ではありません。
私たちが実際に学んだことは、この問題に対する答えではありません。私たちが実際に学んだことは、任意の2つの数値を除算するには、2つのことを行う方法を知っている必要があるということです。まず、逆数を取得するために、ONEを任意の（ゼロ以外の）数値で除算する方法を知っている必要があります。そして第二に、私たちは任意の2つの数を掛ける方法を知らなければなりません。そして、その真実は、この質問に対する答えを知ることよりもはるかに興味深く、深遠です。使い古された比喩を許しますが、それは人に魚を与えるのではなく魚を教えることです。
そして本当の力は、それが一般化できるようにする文脈に分割を置くことです。そして、2つの数の除算の一般化は重要なアイデアにつながります。
回答
マイケル・ラマーは、除算の抽象的な概念を理解することが\ frac34に対する特定の回答よりも数学的に重要である理由を、彼の回答で非常によく説明しています。 \ div \ frac14なので、一般化について簡単に説明します。
\ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}とは何ですか？
In a フィールドゼロ以外のすべての要素aには、
\ quad a \ times a “= a”のような一意の逆数a “があります。 \ times a = 1乗法の単位元。
除算は乗算の観点から定義されます：
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a “
分数の逆数は、次の理由で分数を反転することによって得られます。
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1したがって、\ left（\ frac {p} {q} \ right） “= \ frac {q} {p} （p = 0を除く）。
したがって、除算は次の式で与えられます。
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
新進の数学者にとって、これは、少なくともフィールドのコンテキストでは、質問に答えます。真の（純粋）数学者は、さらに一般化する方法を知りたいと思うでしょう。
n = 3、m = 4、p =をインスタンス化することで、元の質問に対する具体的な答えを得ることにもっと興味を持つ人もいます。 1、q = 4を取得：
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
まだかなり 3ではありませんが、もう少し抽象化してそこにたどり着くことができます。興味のある読者に任せる演習です。
ちなみに、その新進の数学者については、有限体 \ mathbbF\_5で次のことを確認することをお勧めします。
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12なぜなら、\ frac34 \ equiv2、\ frac14 \ equiv4、および\ frac12 \ equiv3