ベストアンサー
まず、\ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}。
ここで、平方根関数をテイラー級数で表します。このテイラー級数を約16と計算します。これは、煩わしい収束半径から安全を確保するためです。次に、級数でx = 20を設定して\ sqrt {20}を近似します。
任意の任意関数f \ left（x \ right）のテイラー級数の定義は次のとおりです。
f \ left（x \ right）= \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left（n \ right）} \ left（a \ right）\ frac { \ left（xa \ right）^ n} {n！}
ここで、f ^ {\ left（n \ right）}はfのn次導関数を示します。多くの導関数を計算する必要があり、やや簡単に目立つパターンがあることを願っています。
f \ left（x \ right）は、以降、\ sqrt {x}を示します。
fの「ゼロ次」導関数は単純にfです。シリーズの最初の項の係数としてf \ left（16 \ right）を使用します。 （テイラー級数を 16 の中心に置くことにしました。 16の平方根は簡単です。 4 です。4つの4は16です。）
f \ left（x \ right）= 4 \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 0} {0！} + \ cdots
わかりました。物事は少し挑戦的になるでしょう。ここで、\ sqrt {x}の導関数を計算する必要があります。
べき乗則では、\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}。この場合、n = \ frac {1} {2}（\ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}の場合）。
したがって、\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {-\ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {バツ}}。したがって、級数の次の係数は\ frac {1} {2 \ sqrt {16}}または単に\ frac {1} {8}です。
したがって、テイラー級数の次の項はfになります。 “\ left（16 \ right）\ frac {\ left（x-16 \ right）^ 1} {1！}または単に\ frac {1} {8} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 1} {1！}。
これまでの部分的な合計は次のとおりです。
f \ left（x \ right）= 4 \ frac {\ left（x-16 \ right ）^ 0} {0！} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 1} {1！} + \ cdots
わかりました。では、 f \ left（x \ right）の秒導関数を計算するか、単に\ frac {1} {2 \ sqrt {xの導関数を計算する必要があります。 }}。
1つの関数が別の関数内で構成されているため、チェーンルールを使用する必要があります。以降、1つの関数をg \ left（x \ right）= \ frac {1} {で示します。 x}であり、もう一方は今後h \ left（x \ right）= 2 \ sqrt {x}で表されます。導関数を求めたい関数は次のとおりです。f “\ left（x \ right）= \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}。言い換えれば、g \ left（h \ left（x \ right）\ right）の導関数を見つけたいのです。
連鎖律は、\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} g \ left（h \ left（x \ right）\ right）= g “\ left（h \ left（x \ right）\ right）h” \ left（x \ right）。
g \ left（x \ right）の導関数は-\ frac {1} {x ^ 2}です（べき乗則による）。 h \ left（x \ right）の導関数は\ frac {1} {\ sqrt {x}}です（べき乗則と\ left（cf \ left（x \ right）\ right）を意味するプロパティによる） ” = cf “\ left（x \ right））。
これで、\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} =-\ frac {1} {4 \ left（\ sqrt {x} \ right）^ 3}。したがって、シリーズの3番目の係数は-\ frac {-1} {4 \ left（\ sqrt {16} \ right）^ 3}（またはより単純に-\ frac {1} {256}）です。
シリーズの第3項は次のとおりです。-\ frac {1} {256} \ frac {（x-16）^ 3} {3！}
これまでの部分合計：
f \ left（x \ right）= 4 \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 0} {0！} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left（ x-16 \ right）^ 1} {1！}-\ frac {1} {256} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 2} {2！} + \ cdots
次に、f \ left（x \ right）の4次導関数を計算します。
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left（\ sqrt {x} \ right）^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
シーケンスの4番目の項は\ fracになります{3} {8192} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 3} {3！}
合計には4つの項があります：
f \ left（ x \ right）= 4 \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 0} {0！} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 1} { 1！}-\ frac {1} {256} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 2} {2！} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 3} {3！} + \ cdots
このパターンを続けると、次の係数のパターンが得られます：
\ frac {1} {0.25 }、\ frac {1} {8 }、-\ frac {1} {256}、\ frac {3} {8192}、-\ frac {15} {262144}、\ cdots
今度はパターンを見つけて、明示的な式を使用したシーケンス。
n番目の分母はb\_n = \ left（2 ^ {n + 2} \ right）\ left（16 ^ {n-1} \ right）で表すことができ、簡略化されます。 to b\_n = 2 ^ {5n-2}（nの初期値は0）。それは簡単でした。分子はどうですか？
一連の分子は次のとおりです（符号の変更は無視します。後で処理します）：
1,1,1,3,15,105,945、\ cdots
…
うーん…
…
分子のパターンは非常に単純です。 945を取り、105で割ります。次に、105を取り、15で割ります。7を求めます。続き：15を3で割ると5、3を1で割ると3、1を1で割ると1になります。ここには奇数の製品が含まれます。
したがって、分子のシーケンスの\ left（n + 2 \ right）番目の項（交互を除く）は次のようになります。
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left（2k + 1 \ right）
分子の式は円周率表記の形式です。なんとかして階乗表記を使って表現したほうがいいでしょう。
最初の2n + 2整数の積を、2から2nまでの偶数の整数の積で割ると、次のようになります。 1から2n + 1までの奇数の整数の積。つまり、
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left（2k + 1 \ right）= \ frac {\ left（2n + 2 \ right）！} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
これで、円周率表記を削除して、より小さく、よりエレガントな式に置き換えることができます。ご覧のとおり、項の2はそれ自体でn +1倍されています。したがって、2を引き出して、大文字の円周率の前に配置し、2をn +1の累乗にすることができます。
t\_n = \ frac {\ left（2n + 2 \ right）！} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
上記の式は次のように簡単に記述できます。
t\_n = \ frac {\ left（2n + 2 \ right）！} {2 ^ {n + 1} \ left（n + 1 \ right）！}
すぐ上の式で与えられた系列が、2つの項でずれていることにすでに気付いているかもしれません。この問題を解決するには、分母の式ですべてのnを見つけて、それらに2を加算するだけです。残りの項についても、xの累乗で同じことを行う必要があります。
分母の式は最終的に2 ^ {5n +8}になります。
シリーズをシフトしたため、除外されたものを式のどこかに含める必要があります。式のシグマ表記の前に表示される他の用語があります。これらの項は4と\ frac {1} {8} \ left（x-16 \ right）です。
シリーズの各項の係数は次のようになります。
c\_n = \ frac {\ frac {\ left（2n + 2 \ right）！} {2 ^ {n + 1} \ left（n + 1 \ right）！}} {2 ^ {5n + 8}}
これは次のように簡略化されます：
c\_n = \ frac {\ left（2n + 2 \ right）！} {2 ^ {6n + 9} \ left（n + 1 \ right）！}
これが級数のn番目の係数の式です（最初の2つの項は、t\_nの式でエラーが発生するため、除外されました）。
これで記述を開始できます。シグマ表記（シグマ表記の前にいくつかのものがあるので、生意気な用語を取り除くためにシリーズをシフトしたことを思い出してください）。
f \ left（x \ right）= 4 + \ frac {1} {8} \ left（x-16 \ right）
-\ frac {1} {256} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 2} {2 ！} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ 3} {3！}-\ cdots
これは、負の値で始まる交互の級数です。したがって、項に-1の（n + 1）乗を掛ける必要があります。
f \ left（x \ right）= 4 + \ frac {1} {8} \ left（ x-16 \ right）+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left（-1 \ right）^ {n + 1} \ left（2n + 2 \ right）！} {2 ^ {6n + 9} \ left（n + 1 \ right）！} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ {n + 2}} {\ left（n + 2 \ right）！}
クリーンアップ：
f \ left （x \ right）= \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left（x-16 \ right）^ {n + 1} \ left（-1 \ right）^ n \ left（2n \ right）！} {2 ^ {6n + 3} n！\ left（n + 1 \ right）！}
HA！
これで、このいわゆる「平方根」関数のテイラー級数ができました。これは、電卓では絶対に問題になりません。あとは、今理解したテイラー級数を使用して20の平方根を概算するだけです。
f \ left（20 \ right）= 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left（20-16 \ right）^ {n + 1} \ left（-1 \ right）^ n \ left（2n \ right ）！} {2 ^ {6n + 3} n！\ left（n + 1 \ right）！}
簡略化：
f \ left（20 \ right）= \ sqrt {20} = 4.5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left（-1 \ right）^ n \ left（2n \ right）！} {2 ^ {4n + 1 } \ left（n + 1 \ right）\ left（n！\ right）^ 2}
上記の式をDesmosに入力し、\ inftyを15に置き換えました。Desmosは合計を評価しました。したがって、20の平方根は約4.472135955です。
他の方法では十分に退屈なので、この回答を深く掘り下げました。
インターネットを使用できる人は誰でも、電卓の中で最も科学的です。平方根関数は、24時間年中無休でいつでも利用できます。その事実のおかげで、私は私の答えを確認します。
4.472135955 \ stackrel {？} {=} 4.472135955 \ upperx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ upperx \ sqrt {20}
お読みいただきありがとうございます。
回答
では、電卓なし。
平方根が20未満の数、つまり4を見つけます。
平方根が20を少し超える数を見つけます。 、5です。
したがって、4 qrt（20）
識別されたら、これら2つの数値の平均である4.5を計算します
AM≥GMおよびGM =√4* 5 =√20。
したがって、√20.5
つまり、4 qrt（20）.5
4.5平方を計算…4 * 5 + .25 = 20.25…
少し高い…
したがって、答えは4.5に近く、4に近くないはずです。 。
では、「もっと正確に」見つけてみましょう。
f（x）= sqrt（x）
f “（x） = o.5 / sqrt（x）
ここで、f（20.25）= 4.5、f（20）=？
∆x = -0を取ります。25
f（x + ∆x）= f（x）+ ∆x * f “（x）
（テイラー級数を1次に切り捨てるか、ニュートンと呼ぶことができます ラフソン法）
ここで、xと∆xを代入すると、次のようになります。
f（20）= 4.5 -0.25 * 0.5（1 / 4.5）
= 4.5-（1/4）（1/9）= 4.5-.1111 / 4
= 4.5 -10 ^（-4）[（1000 + 100 + 10 + 1）/ 4]
= 4.5-10 ^-（4）[250 + 25 + 2.5 + 0.25]
= 4.5 -0.027775
= 4.472225
したがって、sqrt（20）〜4.472225
これがグーグルが答えとして提供したものです。
だから、私たちの答えはそれほど悪くはありません!!