ベストアンサー
45 ^ oの回転ではありません。これは、\ mathbb {R}でベクトルを回転するための変換です。 ^ 2角度\ theta。次のような式を導き出すことができます。
ベクトル\ mathbf {V}を角度\ thetaで回転させます。新しいベクトル\ mathbf {V “}を取得するための変換。
r = | \ mathbf {V} |とします。次に、次の関係があります。
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x “= r \ cos（\ alpha + \ theta）
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y” = r \ sin （\ alpha + \ theta）
ここで、次の関係があります：
v\_x “= v\_x \ cos \ theta –v\_y \ sin \ theta
v\_y “= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
これはマトリックス形式で次のように表されます
\ begin {pmatrix} v\_x” \\ v\_y “\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta &&-\ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
回答
この問題を攻撃する方法はいくつかあります。
1つ目は、オイラーのローテーションを呼び出すことです。定理は、単一の固定点の周り（ただし、ndの任意の軸の周り）の任意の有限数の回転を示します。 imensions）は、軸\ hat {n}を中心とした角度\ thetaの単一回転として表すことができます。
すべての回転が行列で表され、ベクトルを回転する方法が行列の乗算の場合、これからすぐに、回転行列A\_1 A\_2 … A\_nの積も回転行列でなければなりません。そうでない場合、オイラーの回転定理に違反します。
もちろん、問題は、実際にこの定理を証明する方法。
オイラーの元の作品は…グロスです。これには、球の表面に描かれた非常に多くの三角形（つまり、非ユークリッド三角形）が含まれます。
フォローしたい場合最後まで証明すると、前にリンクしたwikipediaページは中途半端な仕事をしているようです。
別の方法（または、同等に、ユークリッドの定理を証明するための2番目の方法）は、直接することです。群論に少し逸脱して、回転行列のプロパティを使用します。
回転とは、数学的に言えば、空間内のすべての点間の距離が一定のままで、点を残す操作です。または、オブジェクトの方向構造を保持することに加えて、固定された（単純なユークリッド空間上にあると仮定して）点のセット。
群論的言語では、これらの演算を（ユークリッド空間上で）呼び出します。 ）「n次元の特別な直交群」、または略してSO（n）。
SO（n）のメンバーである行列Aは、次の2つのプロパティによって定義されます。
- A ^ TA = 1\_n（「直交」ビット）
- \ text {det}（A）= 1（「特別な」ビット）
つまり、回転行列は、行列式の直交行列です。ここで、1\_nはn次元の単位行列です。
「直交」条件は、距離が保持されることを保証する条件です。これは、ユークリッド空間では、ベクトル\ mathbf {v}の長さが次のとおりであるためです。
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
このベクトルを回転させると、\ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}、Aは直交ベクトルであり、行列乗算のプロパティによって：
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
したがって、距離dは回転の影響を受けませんでした。
すべての直交行列には行列式\ pm 1がありますが、負の行列式を持つ行列には、ある軸の周りのミラーフリップ反射も含まれます。空間内のオブジェクトの方向を維持するために、反射ではなく純粋な回転が必要なため、正の決定要因を持つものに制限します。これが「特別な」ビットの由来です。
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