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回答
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数字を表すために使用される多くのフォーム。ただし、これは非常に一般的な形式であるため、多くの人が（独自の過失ではなく）番号をフォーム自体に関連付けるようになります。また、2つの数値の形式が異なる場合は、異なる数値である必要がありますか？
しかし、次の2つの数値についてはどうでしょうか。
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {and} \ quad \ frac {1} {2}？}
まったく異なる表現ですが、必要な計算/キャンセルを実行することで、これら2つの形式が同じ数を表しているとほぼ確実に信じることができます。
なぜですか？
分数を教えられるとき、2つの分数は同じ数である可能性があり、それらは縮小形式。
そしてそれを保持します。
経験を通じて確信しており、その経験の繰り返しであり、さまざまな形式を使用してその経験を検証できます。
他の位置は言うまでもなく、「小数」ではそれほど多くありません。
数値の10進表現の優れた点は、ほとんどの数値（特定の技術的意味で）の10進形式は確かにユニークです（しかし、ほとんどの場合、同じ意味で、すべてを詳細に書き留めることは実用的ではありません。そのように書きましょう）。
ただし、いくつかの例外があります。 「少数」とは、原則として（実際にはそうでない場合でも）10進数で書くことができる「たくさんの」数字全体と比較して意味します。例外は合理的な数値であり、それらの分母（縮小形式）ののみの2の累乗および/または5の累乗があります。
それを理解するために必要なツールは、収束等比数列の本質です。
収束（無限）等比数列は、一連の形式です
\ displaystyle {\ qquad a + a \ times r + a \ times r ^ 2 + \ ldots + a \ times r ^ n + \ ldots。}
級数が、最大の累乗Nを持つ有限数の項の後で終了する場合、級数の合計が
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a（1-r ^ N）} {であることを確認するのはかなり簡単です。 1-r}、}
そして、無限の合計を持つことの意味を尋ねます。従来の定義では、Nが任意に大きくなると、項が急速に小さくなり、合計値が有限限界に近づきます。この考えを調査すると、共通の比率rが-1と1の間になければならない（どちらでもない）という条件が導き出されます。または、| r | 、-1 に相当します。
すると、式は
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r}、}
項r ^ N \ to0になります。
10進表記がどのように定義されているかを思い出してください。実際には、一連の形式の省略形です
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *}＆a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\＆\ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\＆\ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots、\ end {align *}}
ここで、kは数値よりも小さい10の最大の非ゼロ乗であり、a\_i、b\_jは10進数（0から9までの整数）です。
数値9.999 \ ldots = 9。 \ dot9はこの形式の数値です。ここで、k = 0であり、すべての正の整数jに対してa\_0 = 9 = b\_jです。幸いなことに、これにより正確に等比数列の形が得られます。 （数字が9から右に異なる10進形式のすべての数値は、上記のようなシリーズで囲まれていることに注意してください。）
プラグインするだけです。最初の項はa = 9です。 、一般的な比率はr = \ frac {1} {10} です。したがって、このシリーズが収束することがすぐにわかります！
取得
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
とてもきれいです。
もちろん、他にもトリックがあります。 9. \ dot9 = 10（とにかく10進数で…）であることを証明するために使用できますが、（私の考えでは）最良のことは、表記の意味とその仕組みについて何かを理解することです。位置表記でも、すべての数が一方向にしか表されないという事実があります。
一般に、有効な基数bがある場合、その位置基数で表される数は0の形式になります。（b -1）（b-1）（b-1）\ ldotsは常に1に等しい。したがって、バイナリ（たとえば）では、0.1 = \ frac {1} {2}の場合、0.111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1。無限級数の「方法」は、この結果を証明するために同じように機能します。