ベストアンサー
を証明する方法GeorgeGamowは、ガリレオが彼の著書「Gravity」でこの公式に到達した方法を説明しています。
ガリレオは落下体を研究していました。彼は、物体の落下にかかる時間と移動距離の数学的関係を知りたがっていました。そこで彼は実験を行いました。
彼は傾斜面を作りました。それから彼は異なる材料のボールを飛行機に転がらせました（彼はそれらを押しませんでした）。彼は、1秒、2秒、3秒、4秒の終わりにボールがカバーする距離を測定しました。彼はボールの自由落下を直接手配することができたでしょう。しかし、自由落下は非常に速く、当時彼は良い時計を持っていませんでした。傾斜面で実験を行うことで、ボールに作用する重力を減らし、傾斜面の傾斜に応じて底に到達するまでの時間を長くしました。次の図でこれを説明しています。
この図から、次のことがわかります。
[math] \ frac {mgsin（a）} {mg} = sin（a）= \ frac {x} {z} [/ math]。
したがって、xが小さいほど、力を引き起こす運動が少なくなり、ボールが底に到達するまでにかかる時間は長くなります。ガリレオは、2秒、3秒、4秒の終わりにボールがカバーする距離が、それぞれ1秒の終わりにカバーされる距離の4、9、16倍であることを発見しました。 これは、移動時間の2乗に応じて、ボールがカバーする距離が増加するように、ボールの速度が増加することを示しています。 ここで問題となったのは、距離と時間の関係で与えられた時間と速度をどのように関連付けるかでした。ガリレオは、この種の距離と時間の関係は、ボールの速度が時間に正比例する場合にのみ得られると述べました。次の図は、上記の実験とガリレオのステートメントの速度と時間のプロットを示しています。
上の図では、 Aはボールのゼロ位置（傾斜面の上部）に対応し、点Bは時間間隔tの終了時に速度vを持つボールに対応します。三角形ABCの領域は、ボールがカバーする距離を示します。 、s、時間間隔（0、t）。したがって、カバーされる距離は、
s = \ frac {1} {2} vtです。
ただし、ガリレオによると引数、vはtに正比例します。つまり、v = atで、aは加速度です。
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} at ^ 2。[/ math]
したがって、カバーされる距離が長くなります私たちの実験的観察であった時間の二乗として。この式は、ボールに初速度が与えられていないときにカバーされる距離を示します。しかし、ボールに初速度uがある場合、「ut」という用語が上記の式に追加されます。これは、速度uで時間tでカバーされる距離です。この項は、実験で測定された距離を増やすだけですが、同じ距離と時間の関係を維持します。したがって、最終的な式は次のようになります。
s = ut + \ frac {1} {2} at ^ 2。
回答
関連するものを証明しようとする場合正の整数に対して、あなたの最初の考えは誘導であるべきです。問題は、すぐに明白な方法がないことです。不等式の両側に何かを追加できるようにしたいのですが、そうすると右側の境界が大きくなります。
この問題の秘訣は、実際に境界を現在よりも強くすることです。したがって、関連するステートメントを証明します
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4}-\ dfrac {1} {n}
すべての正の整数n \ geq3。元のステートメントは次のようになります。 nが無限大に近づくことを許可します。
任意の正の整数kに対して、
\ dfrac {1} {k}-\ dfrac {1} {（k + 1 ）^ 2}> \ dfrac {1} {k}-\ dfrac {1} {k（k + 1）} = \ dfrac {k} {k（k + 1）} = \ dfrac {1} {k + 1}。
これを知っているので、誘導によって進めることができます。
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4}-\ dfrac {1} {3}、基本ケースn = 3は真です。
ここで、ステートメントがいくつかのkに当てはまると仮定します。つまり、
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4}-\ dfrac {1} {k}。
このステートメントはk + 1にも当てはまります。これを行うには、両側に\ dfrac {1} {（k + 1）^ 2}を追加します。
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {（k + 1）^ 2} dfrac {3} {4}-\ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {（k + 1）^ 2}。
上記で証明した不等式から、これは次のように単純化されます
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {（k + 1）^ 2} dfrac {3} {4}-\ dfrac {1} {k + 1}、
これはまさに私たちが証明したかったことです。
したがって、数学的帰納法の原理により、修正されたステートメントはすべての整数nに当てはまります。 \ geq 3なので、元のステートメントも真です。
編集：Predrag Tosicがコメントで指摘したように、nを無限大に近づける場合は、号を\ leqに変更する必要があります。不等式の両側が同じ値に収束する場合。ただし、これは、代わりに不等式を証明することで修正できます
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4}-\ epsilon- \ dfrac {1} {n}
\ epsilonの小さな値（ たとえば、\ dfrac {1} {100}）、nが無限大に近づくと、結果は
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4}-\ epsilon、
目的のステートメントが続きます。