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正多角形はテッセレーションしません。
正多角形が頂点から頂点にテッセレーションするために、内部ポリゴンの角度は360度均等に分割する必要があります。 108は360を均等に分割しないため、正五角形はこのようにテッセレーションしません。
頂点の1つを頂点ではなくエッジに配置しようとすると、同様の理由で機能しません。角度は一致しません。
ただし、次の例のように、頂点を頂点に並べてテッセレーションする五角形はたくさんあります。 1つの頂点の周りのすべてのポリゴンの角度の合計が360度であることがわかります。
角度条件の確認は次のとおりです。ポリゴンがテッセレートするかどうかを確認するために必要な条件は1つだけではありませんが、確認は非常に簡単です。
回答
正多角形は、等辺三角形、正方形、正六角形の3つだけです。
ポリゴンの角の角度のため、他の正多角形はテッセレーションできません。平面をテッセレーションするには、整数個の面が1点で交わることができる必要があります。正多角形の場合、これは多角形の角の角度を360度に分割する必要があることを意味します。さらに、すべての凸多角形の場合、外角の合計は360度になる必要があり、正多角形の場合、外角は等しく、合計が360度になる必要があります。これは、正多角形の内角が180 ^ \ circ- \ frac {360 ^ \ circ} / nであることを意味します。したがって、角に合わせることができる正三角形の数は、\ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} {です。 180 ^ \ circ n-360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}であり、整数の場合にのみ可能です。 。
正三角形には3つの辺があるため、点の周りに\ frac {2（3）} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6つの正三角形を合わせることができます。テッセレーションは除外されません。
正方形には4つの辺があるため、点の周りに\ frac {2（4）} {4–2} = 8/2 = 4つの正方形を収めることができます。テッセレーションは除外されません
五角形には5つの辺があるため、点の周りに\ frac {2（5）} {5–2} = 10/3の五角形を合わせることができます。これは整数ではないため、テッセレーションは不可能です。
六角形には6つの辺があるため、\ frac {2（6）} {6–2} = 12/4 = 3つの六角形に合わせることができます。テッセレーションは除外されません。
しかし、それ以上の側面はありますか？まあ、それは不可能です。 \ frac {2（n + 1）} {（n + 1）-2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2}であり、2 < \ frac {2n} {n-2}なので、n> 6の場合、2 frac {2n} {n-2} frac {2（6）} {6–2} = 3となり、通常の七角形、八角形、九角形など、点の周りに整数を収めることはできませんでした。
これは、五角形、八角形、八角形などがテッセレートするものがないという意味ではありません。通常の五角形、通常の七角形、または通常の八角形などではありません。