ベストアンサー
ギャビンソングはすでにあなたに素晴らしい答えを与えていますが、私はあなたに代替案を提供するために最善を尽くします微積分を使用してこの問題を調べる方法。
事実：任意の2D楕円は、次のようにパラメーター化できます。
\ begin {align *} y（t）＆= a \ sin（t） \\ x（t）＆= b \ cos（t）\ end {align *}
ここで、0 \ leq t \ leq 2 \ piおよびaとbは、セミマイナーおよびセミメジャーです。それぞれ軸（別名、垂直半径と水平半径）。
ポイントがx軸に変化し、別のポイントがy軸に変化することを考慮してください。たとえば、\ Deltayと\ Deltaxです。ピタゴラスの定理を使用すると、点の最初の位置と最後の位置の間の長さが（\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2）^ {1/2}で与えられることがわかります。簡単ですよね？
次に、そのロジックをパラメータ化された楕円に適用します。楕円の周囲を概算するために、tのいくつかのステップに沿って楕円上の点を「追跡」し、各間隔でその位置間の長さを測定し、最後にそれらを合計することができます。自分でこれを行おうとすると、間隔をどんどん小さくしていくと、測定がますます正確になることがわかります。したがって、真の周囲長を取得するために、このプロセスを無限に小さい間隔で実行できます。これにより、xとy、たとえばdxとdyに無限に小さな変化が生じます。これは、次の整数を評価することと同じです。
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi}（dx ^ 2 + dy ^ 2）^ {1/2}
周囲長をlで表します。以前のパラメータ化を使用する場合、これは次のように表すことができます。
\ begin {align *} l＆= \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big（\ Big（\ frac {dy } {dt} \ Big）^ 2 + \ Big（\ frac {dx} {dt} \ Big）^ 2 \ Big）^ {1/2} dt \\＆= \ int\_ {0} ^ {2 \ pi }（a ^ 2 \ cos ^ 2（t）+ b ^ 2 \ sin ^ 2（t））^ {1/2} dt \ end {align *}
ただし問題があります。この積分は、a = b（円の周囲の公式をエレガントに与える）でない限り、象徴的な解はありません。したがって、唯一のオプションは、数値法を使用して適切な近似を取得することです。これはおもしろいかがっかりするかもしれませんが、どちらにしてもお役に立てば幸いです。
🙂
回答
ご容赦いただければ、この質問を逆に考えてみてください。
円と楕円の面積が等しいと仮定します。
私の質問は「同じ円周を持っていますか？」
（a = b = rの場合、式は円の面積と同じであることに注意してください。）
の円周円は2πr
楕円の円周を計算するのは非常に困難です！
人々は見つけようとしました楕円の円周を見つけるための式ですが、ほとんどの試みは近似にすぎません。
無限の系列を合計する方法もあります！
有名なインドの数学者Ramanujanは、非常に優れた式を作成しました。非常に正確です。
a = b = rの場合、楕円は円になり、上記の式は次のようになります。円周の式C = 2πr。
これを彼の式に代入すると、次のようになります。
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
円の半径が 6 cmで、楕円の長軸は 9 cm、短軸は 4 cm。
円の面積=π×6×6 = 36π sq cm
の面積楕円=π×9×4 = 36π sq cm
———————————————— ——————————
円の円周= 2πr=12πcm
ラマヌジャンの式を使用した楕円の円周は次のとおりです。
————————————————————————————————— ————
結論、円と楕円の面積が同じ場合、楕円のは大きくなります 円よりも円周。