ベストアンサー
「ポイントセット」という用語には、私が知る限り、標準的な数学的定義はありません。 「Xをポイントセットにする」というフレーズは無意味です。 「ポイントセットトポロジ」では、「ポイントセット」という句は、「代数的トポロジ」や「微分トポロジ」ではなく、「トポロジ」を修飾する形容詞です。
- ポイントセットトポロジは、本質的にセット理論の観点から、潜在的に病理学的な位相空間を研究します。
- 代数的トポロジーは、ホモロジー代数を使用して、適切に適切な連続空間を分析します。
- 微分トポロジーは微積分を使用して滑らかな空間を研究します。
したがって、トポロジーへの修飾子「ポイントセット」は、空間が存在するコンテキストで作業している可能性があることを示します。継続的または差別化可能な方法で学習することはできません。
回答
行は次のもので構成されていると考えることができますポイントですが、それが最善の考え方かどうかはわかりません。また、線が「点で構成されている」とは言わないでください。どちらも他の点よりも基本的ではないためです。
公理幾何学では、線と点は別個の基本エンティティです。 2本の線が1つの点で交差し、任意の線上に異なる点の厳密な順序があります。射影幾何学の興味深い特徴は、点と線の間の対称性です。それらの間には正式な二重性があります。ある点で交わる2つの線についてのそのステートメントは、形式的にはその二重と同等です—2つの点が線を定義します。デュアルビューでは、ポイントは「線で構成されています」。
線上のポイントのカーディナリティについて：これは、許可する構造によって異なります。従来の「マークのない定規とコンパス」では、1行で到達できるポイントの数は可算のみです。一般に、点のシーケンスの制限を許可すると、連続体の非可算カーディナリティを持つ実数直線上の任意の点に到達できます。しかし、そこで止まる特別な理由はありません。たとえば、異なる点が非常に近くにあり、それらの数が不安定に多い（数えられないほどです！）超現実数直線を作成できます。