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多項式時間
アルゴリズムは多項式時間（実行時間が上限でアルゴリズム式アルゴリズムの入力のサイズ、つまり T （ n ）= {\ displaystyle O（n ^ {k}）}正の定数 k の場合。
決定論的多項式時間アルゴリズムが存在する問題は、複雑性クラス P 。これは、計算量理論の分野の中心です。 Cobhamの論文は、多項式時間は「扱いやすい」、「実行可能」、「効率的」、または「高速」の同義語であると述べています。
多項式時間アルゴリズムの例：
別名 CLRS）FlonのACM 紙
Wulf、Shaw、Hilfinger、およびFlonの古典的なテキストを使用する、理論と実践を統合する基本的なCSコース コンピューターサイエンスの基本構造 。
多項式p（x）を多項式d（x）で除算すると、p（x）= d（x）q（x）+ rとなるような商q（x）が見つかります。 （x）ここで、r（x）は剰余です。
r（x）の次数が≥︎nであるとすると、d（x）が次数nであるとすると、新しいものになるまで、r（x）をさらに変更できます。 r（x）^ {*}の次数はd（x）よりも厳密に小さかった
p（x）= x ^ 4 + 1およびd（x）= x ^ 2であるとします：
x ^ 4 + 1 = x ^ 2q（x）+ r（x）
明らかにq（x）= x ^ 2
x ^ 4 + 1 = x ^ 2 \ cdot {x ^ 2} + r（x）⇒︎r（x）= 1
これで、q（x）= xおよびgと言うことができます。 et：
x ^ 4 + 1 = {x \ cdot {x}} ^ 2 +（x ^ 4-x ^ 3 + 1）
r（x）= x ^ 4-x ^ 3 + 1？
しかし、これは私たちが望んでいることではありません！
これは整数の除算/剰余に似ています：
p = dq + r
7 = 2 \ cdot {3} +1は正しい
7 = 1 \ cdot {3} + 4は完全に除算しなかったため、望ましくありません除数を介して、剰余を残しました。
同じ概念が多項式に適用されますが、次のようになります。
\ text {deg} r（ x） text {deg} d（x）
または、d（x）を法とする等価クラスで剰余を最低次数の要素に完全に減らさなかった、またはあまり意味のない用語で、次のことができます。与えられた多項式でmodoutすると、実際には同等の多項式のクラス全体が見つかりますが、剰余として次数が0からn-1（これらの端点を含む）の間に挟まれた最小のものが必要です。
10 = 7 = 4 = 1〜 \ text {mod} 3ですが、整数の長い除算の有効な剰余は1つだけです！
x ^ 4 + 1 = x ^ 2 + 1 = 1〜 \ text {mod } x ^ 2ですが、1つだけです多項式の長除法の有効な剰余の場合！
だから
\ text {deg} r（x） text {deg} d（x）