ベストアンサー
これは、直感的で曖昧な概念を取り入れて、数学がどのように機能するかを示す良い機会です。巧妙な定義によって正確です。
反対とはどういう意味ですか？まあ、意味するのは合理的なことは、xとで何らかの操作\ vee（たとえば、バナナはいい名前です）を実行するときです。その反対のx ^ *の場合、結果はバナナに中立な要素nになるはずです。つまり、xと「anti-x」は互いに打ち消し合い、x \ vee x ^ * = nになるはずです。現時点では、これらの形式的なプロパティ以外のバナナについてはほとんど知らないことに注意してください。nがニュートラルであるという概念は、この意味で、任意のyに対して、y \ vee n = y、つまり、バナナを両方に適用した場合、nはyに影響しません。
この反対性の概念は数学の基本的な概念であり、x ^ *のより一般的な名前は操作に関して x の逆 \ vee。
\ veeがx +（-x）= 0は中立要素であるため、通常の数値の加算+、x ^ *は-xで表されます。実際、任意のyについて、y + 0 = yです。したがって、この場合、0の反対は-0、それ自体は0です！
\ veeが乗算の場合、中立要素は1です（なぜですか）。0は1の倍数がないため、0には反対はありません。数学者が0とは反対の乗数を発明する状況があり、通常はそれを\ inftyと呼びます。これは、ある程度意味があります。
回答
これは、以前はいくつかの議論の対象でした。ドナルド・クヌースが1992年に物事を正すまで、数学界では混乱が長引くことは理解できますが、現代の慣習では、正当な理由で0 ^ 0 = 1を定義しています。
0 ^ 0とは平均？おそらく、0乗はn乗をn乗で割ることによって計算されることを教えられたでしょう（n> 0）。これは0 ^ 0の場合には役に立たず、0 ^ 0を未定義の商\ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00に関連付ける人もいます。これらの人々は、0 ^ 2が完全に明確に定義されており、未定義の商\ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00に関連付けることができないことに気づいていません—証明できません以前は存在しなかったゼロによる除算を導入することで何でもできます。
ただし、除算にアピールする必要はまったくありません。
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0、
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0、
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0、
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1。
すべてのリンゴをn回取り除いた場合（n> 0） 、リンゴが残っていません。しかし、私があなたのすべてのリンゴを0回取り除いたとしても、あなたはまだすべてのリンゴを持っています。より簡潔に言えば、0 ^ 0 = 1は、 空の製品 の場合と同じです。 0！ = 1。
では、なぜこれが受け入れられるまでにそれほど時間がかかったのでしょうか。明らかな問題は、制限形式 0 ^ 0が、\ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f（x）という意味で不定形であるということです。 = \ lim\_ {x \ to a} g（x）= 0は、制限に関する情報を提供しません* \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f（x）^ {g（x）}：任意の非負数である可能性があります特定の関数に応じて、実数、\ infty、または存在しない場合があります。これは、1世紀以上の間、上記の単純な直感と矛盾しているように見えました。ただし、重要な認識は、不確定 制限形式であるということです。 0 ^ 0 は、 値 0 ^ 0 。これらは同じオブジェクトではありません。制限形式 0 ^ 0は、前述の制限の単なる省略形であり、その不確定性は、指数が連続関数ではないことを意味します。 （0、0）の任意の近傍。
これはそれほど驚くべきことではありません。たとえば、\ lfloor 0 \ rfloorも不定形です（\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloorが存在しません、\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0、\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ）、それでも値として\ lfloor 0 \ rfloor = 0と記述します。
そこで、有用な値である1を0 ^ 0に割り当てます。なぜそれが有用なのですか。 特別なケースを追加せずに指数を操作できるため。
- \ textstyle p（x）= \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ nが多項式の場合、その場合、p（0）= a\_0はその定数項ですが、0 ^ 0 = 1でない限り、この明白な方法で多項式を書くことさえできません。同じことが無限のべき級数にも当てはまり、dは\ inftyに置き換えられます。
- 無限の幾何学的シリーズの評価：\ begin {split} \ textstyle（1-x）\ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n＆= \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n-x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\＆= \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n- \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\＆= \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n- \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\＆= \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1、\ end {split} so \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1–x}。 | x |に対して完全に有効（さらには継続的）です、x = 0を含むが、0 ^ 0 = 1が必要。
- 二項定理（a + b）^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ kは、a = 0またはb = 0の場合でも保持されますが、0 ^ 0 = 1が必要です。
- パワールール \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n-1}（n \ ne 0）は、n = 1の場合でも成り立ちます。 x = 0ですが、0 ^ 0 = 1が必要です。
- Jack Huizengaの答えは、別の例を示しています。関数の数 f \ Colon S \ toTは\ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}ですが、0 ^ 0 = 1の場合のみです。
- 教会の数値 ナチュラルのエンコード、指数は単なる関数アプリケーションであり、0 ^ 0 =（\ lambdaf。\ lambdax。x）（\ lambda f。\ lambdax。x）=（\ lambdax。x）= 1.
* 0 ^ 0が不確定な形式であるという意味は、他の不確定な形式よりも弱いです。複雑な分析関数f、gの場合、\ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f（x）= \ lim\_ {x \ to a} g（x ）= 0の場合、fがまったくゼロでない限り（この場合、制限は存在しません）、常に\ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f（x）^ {g（x）} = 1になります。
Donald Knuthは、基本的に「表記に関する2つのメモ」（1992年、6ページ）で、歴史的背景とともにこれと同じ答えを示しています。
しかし、[Libriの]論文[33]は、0 ^ 0が定義されているかどうかについての論争を巻き起こしたため、最初に出現したときに数学的な水域にいくつかの波紋を生成しました。ほとんどの数学者は0 ^ 0 = 1に同意しましたが、Cauchy [5、70ページ]は0 ^ 0を0/0や\ infty- \ inftyなどの他の式と一緒に未定義の形式の表にリストしていました。方程式0 ^ 0 = 1に対するLibriの正当化は説得力がなく、彼の名前に単に「S」と署名したコメンテーターが攻撃に立ち上がった[45]。アウグストメビウス[36]は、0 ^ 0 = 1（基本的には\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = 1であるという証拠）を信じる前教授の理由を提示することにより、Libriを擁護しました。メビウスはさらに進んで、\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f（）が\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f（x）^ {g（x）} = 1であるという想定される証明を提示しましたx）= \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} g（x）= 0。もちろん、「S」は、メビウスがf（x）= e ^ {-1 / x}などの関数について知っているかどうかを尋ねました[3]。およびg（x）= x。 （そして、メビウスの収集された作品が最終的に出版されたとき、論文[36]は歴史的記録から静かに省略されました。）議論はそこで止まり、明らかに0 ^ 0は未定義であるべきであるという結論に達しました。
しかし、 、いや、万回もいや！二項定理\ displaystyle（x + y）^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n-k}を少なくとも1つの非負の整数n は0 ^ 0 = 1であると信じる必要があります。これは、x = 0とy = 1を接続して、左側に1、右側に0 ^ 0を取得できるためです。
空のセットから空のセットへのマッピングの数は0 ^ 0です。 は 1である必要があります。
一方、Cauchyには、0 ^ 0を未定義の制限形式、f（x）^ {g（x）}の制限値が不明であるという意味で a f（x）とg（x）が独立して0に近づく場合のアプリオリ。このはるかに強い意味で、0 ^ 0の値は、たとえば0 + 0の値よりも定義されていません。コーシーとリブリはどちらも正しかったのですが、リブリと彼の擁護者は、なぜ真実が彼らの側にあるのか理解していませんでした。