ベストアンサー
理論的な確率論の観点から、確率場は、多様体によってインデックス付けされた確率変数のファミリーです。
説明させてください：
確率過程は確率変数のファミリー\ {X（t）\} \_ {t \ in T}です。ここで、各tについて、X（t）は確率変数であり、tはインデックスセットと呼ばれるセットTで変化します。理論的には、定義はインデックスセットTに制限を課さず、任意のセットにすることができます。ただし、確率過程と言えば、99％の時間は実際にはtを時間と考えているため、Tは実数直線、整数の集合、またはそれらの一部である必要があります。
これがそうではなく、最も一般的には、Tが実際に高次元のユークリッド空間またはその一部、あるいはそのようなもの（「多様体」）である場合、\ {X（t）\} \_ {t \ inT}は確率場と呼ばれます。インデックスはもはや一次元ではないので、時間として考えることができず、空間として考えるという考え方です。その結果、「プロセス」ではなく「フィールド」が得られます。したがって、得られるのはランダムな表面、またはランダムな多変量関数です。
回答
ランダムな変数は、可測関数として定義されます。関数
X：\ Omega \ mapsto \ R
\ Omegaは確率空間-ウィキペディア。
「可測」の部分についてはあまり気にしないでください。ここで言いたいのは、特に数学と物理学では、関数と変数の間にある種の同等性があるということです。 。
たとえば、Calculusの連鎖律の一般的に使用される形式は次のようになります。
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
ただし、これは y が暗黙的に u および u は、暗黙的に xの関数です。さらに、左側の y は、実際に（そして暗黙的に）複合関数y = y（u（x））を表します。
この種の変数としての関数の表記は、微分方程式でも常に見られます。たとえば、誰かが
y “= y
のような微分方程式を書くとき、それは単に理解された y は、指定されていない定義域、つまりy = y（x）上の関数であり、そのy “は関数\ frac {dy} {dx}を表し、=符号は、関数の同等性を意味します。「その表記法には多くのセットアップが組み込まれています！
確率変数は正確に機能するため、これについて言及します。同じ方法です。Xと記述しますが、この記号は関数 X（\ omega）を参照します。確率変数は、定義域が確率空間である関数です。確率空間は、表記法で明示されることはほとんどありませんが、コンテキストで定義する必要があります。
「ランダム」と呼ばれる理由については、「ランダム」と呼ばれるのは、確率空間に依存します。「頭の場合はカウント1、尾の場合は-1」と言うと、両方の確率空間\ Omega = \ {heads、tails \}を定義しました（おそらく、一様分布）、および確率変数X（heads）= 1、X（tails）=-1。記号Xは実数を表すのではなく、「ランダム」ドメインを持つ関数を示します。「ランダム」は、「結果の既知の分布を持つ」と大まかに定義できます。