ベストアンサー
与えられたRt三角形、辺18、24、30;内接円の半径を見つけます。
簡単な答え; Rt三角形に内接する円の半径の式は次のとおりです。
面積/（1/2周囲長）
面積は高さXベースの半分。つまり、
18 * 12 = 216
周囲長は18+ 24 + 30 = 72; 2で割った値
72/2 = 36 スパン>
円の半径は216/36 = 6 cm
長い答え
構造：
Bisect AC、およびCA、交差点でBCの二等分線で軌跡を確認します。さあ、行きましょう…..
コンパスと鉛筆を使って円を作成し、その周りをたどって他の2つの側面に触れます。
ADとCEの交差点にラベルを付け、 O。
そこから、P、Q、およびRで各辺に垂直に垂れ下がります。
交点Oは、辺AB、BC、およびACから等距離にあります。 （以下のIIIを参照）
I。
三角形、BPO、BROを検討してください。
角度BO = BO（構造）。
ラインBOは両方の三角形に共通です。
角度RO = PO（構築されたRt角度）。
エルゴ三角形BPOとBROは合同です。
その行BP = BRに従います。
しかし、BR = BC-rであることがわかります。
したがって、BP = BC-r;または24–r。
同じ引数で、PA = AC -r：または18–rであることを証明できます。
そうです。
BP = 24- r; PA = 18-r;およびBP + PA = BA。
結論の組み合わせ……BP + PA =（24-r）+（18-r）BPおよびPAをBAに置き換え、単純化…。
したがって、BA = 42-2r。
しかし、BA = 30（与えられた）。 BAの代わりに使用します。
30 = 42-2r…単純化…。 2r = 42-30。
2r = 12。
エルゴr = 6。
QED。
II。
半径は=> 6単位であることがわかりました。
算術演算は次のように見えます。
この一連の三角形のすべての辺の合計、/ 12 =内接半径円。
18 + 24 + 30 = 72
半径= 72/12 = 6。
お役に立てば幸いです。
Re ;他の答えの公式、それぞれありがとう。私にとっては初めてです！…笑。私はQuoraで毎日新しいことを学びます。私のお気に入りは「area /（0.5 * perimeter）=内接円半径」….216 / 36 = 6…
EDIT 6/26 / 17
III。
図の構成から、
三角形のBPOとBORは合同であり、上記で証明されています。また、APOとAOQも同様に合同であることが証明できます。
エルゴ
ラインOP = OR、およびOQ = OP。 OPはORとOQの両方に等しいので、これらは互いに等しく、つまり–OR = OQです。したがって、これは、その角度の二等分線の交点が図の中心であり、直角三角形であり、3つの側面から等距離にあることの証明です。
QED
回答
この素敵な質問をしてくれてありがとう、ロイドさん-あなたの質問への答えははいであるだけでなく、無限にたくさんあります（平面）要求したプロパティを持つ三角形。結果として、一部をそのような方法で内接円の半径でうまく並べ替えることができます。上記の半径は、自然数1、2、3、4などのセットを追跡またはシャドウイングします。
言い換えると、今後の議論を潜在的により正式な証明の青写真として使用します。三角形を生成する機械的な方法を示します。三角形の長さはすべての辺が整数で、内接円の半径の長さは事前に指定された整数nです。
サイドバー：これらのタイプの質問やることがたくさんある初等数理論であり、幾何学とはほとんど関係がありません。
（平面）三角形の1つのファミリ “> すぐに要求されたプロパティを持つことが保証されているは、いわゆる ピタゴラス三角形です。 -右（今のところ）の三角形の長さはすべて整数です。
ピタゴラス三角形の辺の長さが整数であることに同意しましょう。厳密に正の数a、b、cは、次のようになります。
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
3つすべての場合も同意します。整数a、b、cはコプライムであり、対応するピタゴラス三角形はプリミティブと呼ばれ、なんとかしてそのようなプリミティブ三角形a\_0を1つ見つけることができたと仮定します。 、b\_0、c\_0。
（ 1 ）の関係には他の浮動小数点項がないため、すべての数値をスケーリングすることにより、同じ厳密に正の整数kによる原始ピタゴリアン三角形：
\ left（ka\_0 \ right）^ 2 + \ left（kb\_0 \ right）^ 2 = \ left（kc\_0 \ right）^ 2 \ tag * {}
次のような新しい三角形を取得します。
- ピタゴリアン
- 原始的ではなくなった（k> 1の場合）
- 親プリミティブのピタゴリアン三角形a\_0、b\_0、c\_0に類似
- 親プリミティブのピタゴリアン三角形a\_0、b\_0、c\_0よりも大きい
（単一の）与えられた原始ピタゴリアン三角形によって生成された非原始ピタゴリアン三角形が無限に存在すること。与えられた原始ピタゴラス三角形は、その辺の長さをこれ以上減らすことができないため、そのファミリーの中で最小のものです。 2つの互いに素なピタゴラスの三角形は似ていません。
通常、数学的なステートメントをぼんやりと投げ捨てることはありません。その場で証明しますが、この答えの焦点は次の証明ではないためです。上記の特性は、今のところ信仰に基づいて真実であると考えています（興味がある場合は、関連する証明を個別に求めてください）。
したがって、伝統的に、プリミティブピタゴラスの三角形。他のすべてのピタゴラスの三角形は、上記で説明したように、互いに素な三角形から生成できるためです。
演習として、次のことを示すことができます。 （ 1 ）の解の完全なパラメーター化は次の式で与えられます：
a = m ^ 2-n ^ 2、\; b = 2mn、\; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
ここで、mとnはすべてのペアですm> nの反対のパリティの互いに素な整数の。 反対のパリティビットは、これらの数値の1つが、どちらが奇数であるかは問題ではなく、もう1つは偶数である必要があることを意味します。
繰り返しになりますが、興味がある場合は、（ 2 ）がどこから来たのかについて別の質問をしてください-の控除を提示させていただきますあまりにも多くの技術情報で現在の回答を汚染しないために、この事実は帯域外です。
（ 2 ）これもここでは省略します。
ここで、辺aとb、斜辺c、内接円半径rを持つ任意の直角三角形を考えます（図1）：
図1に示す青い方程式に緑の方程式を追加し、x + yに灰色の方程式を使用すると、次のようになります。
c + 2r = a + b \ tag * {}
ここから：
r = \ dfrac {a + b –c} {2} \ tag {3}
ここで、上記が正しいと仮定しますt三角形は、プリミティブピタゴラス三角形です。 （ 2 ）からa、b、cの値を取得し、それらを（ 3 ）次のようになります：
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn –m ^ 2-n ^ 2} {2} \ tag * {}
ここで、m ^ 2はキャンセルされ、n ^ 2は2倍になります：
r = \ dfrac {2mn-2n ^ 2} {2} \ tag * {}
上記の分母から2nを因数分解すると、次のようになります。
r = \ dfrac {2n（m –n）} {2} \ tag * {}
つまり、次のようになります。
r = n（mn）\ tag {4}
これは、任意の原始ピタゴリアン三角形の内接円半径の長さは整数です（m> n制約を忘れないでください。（ 2 ）を参照）。 2つの整数は常に整数であり、2つの整数の積は常に整数です。
次に、非プリミティブk三角形を検討します。つまり、すべての辺の長さがであるピタゴリアン三角形を検討します。厳密に正の整数で均一にスケールアップk> 1.このような長さは、厳密に線形の項として方程式（ 3 ）に入力されるため、対応する内接円半径の長さを取得するには、乗算するだけです。 kによる（ 4 ）のRHS：
r\_k = kn（mn）\ tag {5}
したがって、いずれにせよ、（ 4 、 5 ）は常に-2つの整数の差は常に整数であり、2つの整数の積は常に整数であることに注意してください。
式（ 5 ）は、右から左と読むことができます。つまり、整数k、m、nを入力として受け取り、（ 5 ）を使用して、出力として積分内接円半径を生成できます。
次に、反対方向に進んでみましょう。内接円半径の長さを注文し、その情報に基づいて、対応するピタゴラス三角形の長さを復元できるかどうかを確認しましょう。
どうやらピタゴラス自身は、何年も前に、（の解の部分的なパラメーター化を生成することに成功したようです。 > 1 ）ピタゴラス三角形を研究することにより、その短辺の長さが連続する奇数の自然数a = 2n +1のシーケンスを形成します。
その場合、関連する数は全体のままです。謎のピタゴラス三角形の辺bの長さと斜辺cの長さは、1だけ異なる必要があります：c = b + 1したがって、（ 1 ）次のようになります：
（2n + 1）^ 2 + b ^ 2 =（b + 1）^ 2 \ tag * {}
上記の括弧を開く：
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
b ^ 2と1が相殺されることがわかります。
4n ^ 2 + 4n = 4n（ n + 1）= 2b \ tag * {}
つまり、次のようになります。
b = 2n（n + 1）、\; c = b + 1 = 2n（n + 1）+ 1 \ tag {6}
これらの値を（ 3 ）に戻します、次のことがわかります。
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n-2n ^ 2-2n-1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
それはいいことではありませんか？
したがって、並べ替えの参照です。
言い換えると、任意の自然数n> 0を指定すると、要求したプロパティを正確に持つピタゴラス三角形を生成できます。
a = 2n + 1、\; b = 2n（n + 1）、\; c = 2n（n + 1）+ 1、\; r = n \ tag {8}
上記の数式ファミリは、三角形の内接円半径の整数長とその辺の整数長を列挙することを意味します 自然数のセット\ mathbb {N}を介して。
これは、コンピュータプログラムを、たとえばCプログラミング言語を媒体として事前に作成できることも意味します。これにより、要求された三角形がオンデマンドで生成されます：
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
上記のコードをptr.cファイルに保存したと仮定して、次のようにビルドします。
gcc -g - o ptr ptr.c
次のように実行します：
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
安価なスリルのために、劇的に長さ365の斜辺を含めました。
プログラムはコマンドプロンプトから自然数の束を受け取り、そのような数nごとにピタゴリアンを生成します。三角形の辺の長さにより、その三角形の半径の長さが入力自然数nと等しくなることが保証されます。
出力の形式は次のとおりです。最初の列は半径nの値を示し、2番目の列は半径nの値を示します。列はaの値を示し、3番目の列はbの値を示し、4番目の列はcの値を示します。
さらに、 area スパン>ピタゴリアン三角形のS：
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
の値を挿入するため、整数であることが保証されます。 aとb（ 2 ）から（ 9 ）に、次のようになります。
S = \ dfrac {\ left（m ^ 2-n ^ 2 \ right）2mn} {2} = \ left（m ^ 2-n ^ 2 \ right）mn \ tag * {}
これは常に整数です。
最後に、任意の状況を読んでください-正しくありません、三角形はより繊細です。
このような三角形を、ギャップやオーバーラップのない3つの小さな三角形にきつく分割すると、以下に示すように（図。2）：
この場合、領域Sについては、全体がその部分の合計に等しいためです。このような三角形の場合：
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
つまり、次のようになります。
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
Pに同意する場合は三角形の完全の周囲であり、pは三角形の半周囲です。
したがって、半径rの値は次のようになります。
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
したがって、rが整数であるためには、Pが2Sを整数で除算するか、pがSを整数で除算する必要があります。
議論のために、planarnonという名前に同意しましょう。右三角形の長さはすべての辺が整数で、面積は整数ですディオファンチン。
現在、（複合）ディオファンチン三角形が存在します。そのようなもの：
- それらはコンポです2つのピタゴラスの三角形が1つの共通の辺に沿っており、
- それらの半径の長さは整数ではない
証明： 5、5、6の複合ディオファントス三角形の面積、これは、b = 4側に沿った2つの3,4,5ピタゴラス三角形で構成され、12であり、半周長は8です。ただし、8は12を整数で除算しません。\ blacksquare
そこに次のようなディオファントス三角形が存在します：
- 1つの共通の辺に沿った2つのピタゴラス三角形の合成であり
- 内接円半径の長さは整数です
証明： 13,14の面積、 b = 12側に沿った2つのピタゴラス三角形5,12,14と9,12,15で構成される15の複合ディオファントス三角形は84に等しく、その半周長は42に等しい。しかし42は整数除算84を行う：42 \ cdot 2 = 84。\ blacksquare
次のようなディオファントス三角形が存在します：
- 2つのピタゴラス三角形で構成することはできませんが
- 内接円半径の長さは整数です
証明： 65,119,180の三角形の面積は1638に等しく、その半周長は182です。しかし、182は1638を整数で除算します：182 \ cdot 9 = 1638。
候補の右三角形辺がaとbの場合、面積2Sの2倍はaとbの積に等しくなります。（ 9 ）を参照してください：2S = a \ cdotb。したがって、aとbの両方で2Sを除算する必要があります。
これは三角形の場合ですか？
いいえ。
の辺の長さはありません。私たちの三角形は、1638 \ cdot2に等しい大きさを分割します。
理由は次のとおりです。1638\ cdot2の素因数分解は2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot13に等しい：
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
三角形の辺の長さの素因数分解は次のとおりです。 ：
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
したがって、三角形の高さがない長さは、（自然）数として表すことができます。したがって、このようなディオファンチン三角形は次のように表すことはできません。ターゲット三角形の高さの役割を果たす必要がある共通の側面に沿った2つのピタゴリアン三角形で構成されます。 \ blacksquare
ディオファントス三角形の内接円半径の長さについて抜本的な発言をするためには、状況をより注意深く分析し、おそらく
議論を複雑にしすぎないことを願っていますが、それが何であるか、主に三辺が算術です。