최상의 답변
합리적 숫자는 비교적 간단합니다. 등가 관계에서 n \ neq0이있는 정렬 된 정수 쌍 (m, n)입니다.
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
무엇입니까? 간단해야 했어? 네, 그렇습니다. 그 모든 등가 구 블디 국은 그것이 (1,2)이든 (2,4)이든 심지어 (-33, -66)이든 반이 반이라는 것을 확인하는 것이 었습니다. 그리고 1 \ times4 = 2 \ times2이기 때문에 (1,2) \ equiv (2,4)가 아닌 \ frac12 = \ frac24로 썼다면 더 친숙 할 것입니다. 그러나 엄밀히 말하면, 그것은 합리 수에 대한 엄격한 정의가 시작되는 것입니다.
이제 쉬운 일이 다루어 졌으니 실수 란 무엇입니까? 이름과 편재성에도 불구하고 실수는 오히려 복잡한 짐승입니다. 아마도 우리의 직관에 매핑되는 가장 간단한 구조는 Dedekind 컷 일 것입니다. 합리적인 숫자의 Dedekind 컷인 \ Q는 둘로 분할 된 것입니다. 비어 있지 않은 세트 (A, B)는 A \ cup B = \ Q, A의 모든 요소가 B의 모든 요소보다 엄격하게 작으며 A에는 가장 큰 요소가 없습니다. 나는 알고 있습니다. 당신의 머리는 이미 회전하고 있지만 idea 는 매우 간단합니다. 특정 지점에서 수선을 자르고 있습니다. 왼쪽의 모든 Rational은 A에 있고 모든 Rationals는 오른쪽 (또는 요점)은 B에 있습니다. B에 최소 요소가있는 경우 컷은 유리수입니다. B가 최소 요소를 갖지 아니면 컷이 무리수입니다. 다음은 2의 제곱근 (불합리한 숫자)에 대한 Dedekind 컷 :
(출처 : File : Dedekind cut- square root of two.png-Wikipedia )
어느 쪽이든 잘라낸 (A, B)는 실수를 나타냅니다. B = \ Q \ setminus A이므로 A 자체로 실수를 나타낼 수 있습니다. 아래에 닫혀 있고 가장 큰 요소가없는 비어 있지 않은 유리수 집합입니다. 어떤 의미에서 비이성적 인 실수는 유리수의 “틈”을 채 웁니다.
이 “틈”의 직관에 대한 한 가지 문제는 유리수가 실수에서 밀도가 높다는 것입니다. Rational이 있습니다 (사실 무한히 많은 Rationals). 이 가능성 으로 인해 적어도 무리수만큼의 유리수가 있다고 생각하게됩니다. 그러나 아니요, 무리수 집합의 카디널리티 는 합리 수 집합의 것보다 엄격하게 큽니다. 어떻게 든 유리수 집합 A의 “끝에있는”실수는 집합 A와 관련하여 설명 할 수없는 다른 실수 호스트와 결합됩니다. 제가 말했듯이 실수는 복잡한 짐승입니다. 대부분 그들 중 “실제”라고 가정하더라도 설명조차 할 수 없습니다.
저는 유리수와 실수의 근본적인 차이를 힌트 합니다. 제대로 이해하려면 수학 학위가 필요한 숫자이지만, 미묘한 부분을 완전히 이해하지 못하더라도 최소한 그 차이에 대한 맛이 있기를 바랍니다.
답변
실수는 유리수 사이의 숫자입니다 . 그 문장이 실제로 무엇을 의미합니까?
2의 제곱근을 고려하십시오. 이것은 합리적이지 않다는 것을 보여줄 수 있습니다. 그러나 우리는 그것보다 낮은 모든 이성들과 그것보다 높은 모든 이성들을 식별함으로써 그 가치가 어느 정도 정확도로 무엇인지 알아낼 수 있습니다. 두 세트의 유리수 사이입니다.
그것은 또한 합리적이지 않은 한 모든 실수에 해당됩니다. 임의의 실수에 대해 모두 그보다 작거나 같은 유리수의 집합과 그보다 크거나 같은 또 다른 합리적 집합이 있으며 모든 유리는이 두 집합 중 하나 또는 다른 집합에 있습니다. . 이러한 종류의 이성 분할은 Dedekind 컷을 사용하여 이성에서 실수를 구성하는 열쇠입니다.
L (낮은) 및 H (높은)의 두 세트의 유리수를 고려하십시오. H의 모든 숫자는 L의 모든 숫자보다 높으며 두 세트는 함께 모든 유리수를 포함합니다. 우리는 대수적으로 계산할 수있는 모든 실수에 대해 이러한 집합 L과 H가 존재한다는 것을 알고 있습니다. 그러나 그것들이 유일한 그러한 집합은 아닙니다.
일반적으로 L은 가장 높은 수, Lmax 또는 H를 가질 수 있습니다. Hmin이 가장 낮을 수 있습니다. 이 경우 Lmax 또는 Hmin은 L의 상한과 H의 하한이되고 합리적입니다. Lmax도 Hmin도 존재하지 않고 알려진 비합리적인 숫자로 집합을 만들면 그렇지 않을 것이라는 것을 알고있는 경우 L의 상한 (H의 하한이기도 함)을 실수로 정의합니다.
사실 비이성적 인 숫자를 소수로 근사 할 때마다 그러한 파티션을 생성합니다. 예를 들어 비합리적인 숫자가 1.2345라고 말하면 … 우리가 말하는 것은 1.2345보다 크고 1보다 작다는 것입니다.2346, 소수 확장에 더 많은 숫자를 쓰면 더 크거나 작은 집합에 더 많은 숫자를 추가합니다.
이 소수 확장을 사용하여 유리수와 숫자 사이의 중요한 차이를 도출 할 수 있습니다. 실수. 유리수는 계산 가능 입니다. 즉, 정수와 일대일 대응으로 배치 될 수 있습니다. 실수는 셀 수 없습니다.
실수와 유리수의 차이점은 무엇입니까?