우수 답변
직관적으로 도달하기 위해이 질문의 의미를 시각화하는 데 도움이되는 좋은 답변이 많이 있습니다. 3의 답변입니다. 그리고 제가 여기에 쓰는 어떤 것도 그 답변의 가치를 빼앗기위한 것이 아닙니다. 그들은 신입생들이 수학과 모델링 사이의 연관성에 대해 구체적으로 생각하도록 돕고 있습니다. 이것은 엄청난 기술입니다.
그렇다면 수학은 모델링이 아닙니다. 따라서이 문제에 대해 생각하는 다른 방법은 순전히 수학적 관점에서 보는 것입니다. 그리고이 기술을 개발하면보다 모델 중심적이고 직관적 인 접근 방식에 전적으로 의존하는 학생들의 수학 경력을 끝내는 더 추상적 인 종류의 수학을 처리 할 수 있도록 노력하게됩니다.
“3/4를 1/4로 나눈 것은 무엇입니까?”라고 물으 셨습니다.
질문 중간에“나누기”라는 용어를 사용하셨습니다. 수학자에게는 이것이 바로 나눗셈의 정의를 찾아 볼 수있는 단서입니다. 정의는 수학이 구축되는 벽돌입니다.
나눗셈의 정의 (이 맥락에서)는 다음과 같습니다.
두 개의 숫자, a와 b (b \ ne 0 포함)가 주어집니다. a를 b로 나눈 값은 c 곱하기 b가 a와 같으면 c입니다.
이제“나누다”가 무엇을 의미하는지 알았습니다. 이 정의를 문제에 적용 할 수 있습니까? 음, 당신은 약 3/4를 1/4로 나눈 값을 묻습니다. 두 개의 숫자 (두 번째는 0이 아님)가 있고 첫 번째 숫자를 두 번째로 나눈 결과를 알고 싶은 것 같습니다. 따라서이 정의가 정확히 필요한 것 같습니다.
이제 게임이 시작됩니다. 문제에 대한 답은 \ frac 14 \ times c = \ frac 34와 같은 숫자 c입니다.
좋은 소식이 있습니다. 이제 우리는 어떤 답이 정답인지 확인하는 방법을 알고 있습니다. 후보 답변에 1/4을 곱하고 결과가 3/4이면 후보 답변이 맞습니다.
나쁜 소식은 후보 답변이 정확하지 않으면 더 가까이에 있지 않다는 것입니다. 정답 찾기. 즉, 정의가 올바른 답을 찾는 데 도움이되지 않습니다. 후보자 답변이 옳은지 확인하는 데에만 도움이됩니다.
어떻게 할 수 있을까요? 시행 착오는 영원히 나쁜 생각처럼 보입니다. 이제 우리에게 항상 정답을 줄 규칙을 만들 때가 된 것 같습니다.
이 규칙을 제안합니다. 두 개의 숫자 a와 b \ ne 0이 주어지면 a를 b로 나눈 값은 항상 a 곱하기 b의 역수와 같아야합니다 (종종 \ frac 1b로 표시됨).
물론이 규칙을 사용하기 전에 항상 작동하는지 확인해야합니다. 그것이 우리가 증거라고 부르는 것입니다. 규칙이 후보 솔루션을 제공하고 정의가 후보 솔루션을 확인하는 방법을 정확히 알려주기 때문에 여기서 증명은 쉽습니다.
a \ times \ frac 1b = a를 b로 나눈 것이 사실입니까? 정의는 c 곱하기 b가 a와 같으면 답은 c가 될 것이라고 말합니다. 그래서 우리는 a를 얻기 위해 우리의 후보 a \ times \ frac 1b에 b를 곱할 수 있습니까? 곱셈은 교환 적이므로 분명히 할 수 있습니다. 그리고 규칙이 입증되었습니다. (우리는 나눗셈에 대한 첫 번째 정리를 증명했습니다. 정의가 수학의 핵심에 있다면 정리와 증명은이를 하나로 묶어 훌륭한 구조를 만드는 데 사용할 수있게 해주는 박격포입니다.)
그래서 그것은 문제에 대한 답은 3/4를 1/4로 나누면 3/4의 곱과 1/4의 역수와 같아야한다는 것입니다. 큰! 맞습니까?
음, 이제 분할 문제를 두 가지 문제로 변경했습니다. 하나는 곱셈 문제입니다. 다른 하나는 “1/4의 역수를 어떻게 구할 수 있나요?”입니다.
여러분이 숫자를 곱하는 방법을 안다고 가정 할 것이므로 실제로는 역수를 찾는 것에 대한 질문이 하나 있습니다. 실제로 이것은 또 다른 분할 문제입니다. 정말로, 나는 지금 당신에게 1을 1/4로 나눈 것을 구하도록 요청하고 있습니다. 내가 디비전으로 돌아 왔기 때문에 처음에는 이기지 않은 것 같다. 그러나 나는 우리가 어떤 a를 b로 나누는 방법을 알아 내야했던 것에서 이제 0이 아닌 b에 대해 1을 b로 나눈 값을 찾아야했기 때문에 그것이 승리라고 주장합니다. 좋은 소식은 올바른 상호를 추측하는 방법을 배우는 것이 쉽다는 것입니다. 그리고 일단 짐작하면 정의가 어떻게해야하는지 알 수 있기 때문에 확인할 수 있습니다.
1/4의 역수는 4입니다. 역수는 1을 1로 나눈 값이므로 확인할 수 있습니다. / 4, 그리고 정의에 따르면 4를 1/4로 곱하면 1이되는 한 4가 답이라고합니다. 그리고 실제로 그것은 사실입니다.
마지막으로, 우리는 3/4를 1로 나눈 것을 배웠습니다. / 4는 3/4 곱하기 4와 같습니다. 그리고 곱하는 방법을 알고 있기 때문에 (예를 들어 숫자 3/4의 복사본 4 개를 더하여) 저는 답이 3이라고 결론을 내립니다. 그리고 제가 정말 조심한다면 돌아가서 정의를 사용하여 결과를 확인하여 오류가 없는지 확인하십시오. 그렇다면 1/4 곱하기 3은 3/4와 같습니까? 실제로 그렇습니다. 이제 3이 올바른 해결책으로 확인되었습니다.
이제 그 답은 정말 길고 복잡해 보입니다. 특히 수학을 처음 접하는 사람에게는 더욱 그렇습니다. 알겠습니다.실제로 계산기 나 Google을 사용하거나 우리 대부분이 학교에서 일찍 배운 몇 가지 (사용자에게 입증되지 않은) 기술을 사용하여 훨씬 더 빠르게 답을 얻을 수 있습니다. 하지만 그게 전부가 아닙니다.
우리가 실제로 배운 것은이 문제에 대한 답이 아닙니다. 우리가 실제로 배운 것은 두 숫자를 나누려면 두 가지를 수행하는 방법을 알아야한다는 것입니다. 첫째, 우리는 역수를 얻기 위해 ONE을 (0이 아닌) 숫자로 나누는 방법을 알아야합니다. 둘째, 두 수를 곱하는 방법을 알아야합니다. 그리고 그 진실은이 질문에 대한 답을 아는 것보다 훨씬 더 흥미롭고 심오합니다. 남용 된 은유를 용서하십시오. 그러나 그것은 그에게 물고기를주는 것보다 물고기를 가르치는 것입니다.
그리고 진정한 힘은 그것이 일반화 될 수있는 맥락에 분열을 넣는 것입니다. 그리고 두 숫자 나누기의 일반화는 중요한 아이디어로 이어집니다. 이것이 바로 수학의 전부입니다!
답변
Michael Lamar는 왜 나눗셈의 추상적 인 개념을 이해하는 것이 \ frac34에 대한 구체적인 답보다 수학적으로 더 중요한지 그의 대답에서 매우 잘 설명합니다. \ div \ frac14이므로 일반화에 대해 곧바로 살펴 보겠습니다.
\ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}는 무엇입니까?
In a 필드 0이 아닌 모든 요소 a에는 고유 한 곱셈 역 a “가 있으므로
\ quad a \ times a”= a ” \ times a = 1 곱셈 동일성.
나눗셈은 곱셈으로 정의 됩니다.
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a “
분수의 곱셈 역수는 다음과 같은 이유로 분수를 반전하여 주어집니다.
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1 그러므로 \ left (\ frac {p} {q} \ right) “= \ frac {q} {p} (p = 0 제외).
따라서 우리 부문은 다음과 같이 지정됩니다.
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
신진 수학자에게는 최소한 필드의 맥락에서이 질문에 대한 답을 제공합니다. 진정한 (순수한) 수학자는 어떻게 더 일반화 할 수 있는지보고 싶어 할 것입니다.
다른 사람들은 n = 3, m = 4, p =를 인스턴스화하여 원래 질문에 대한 구체적인 답을 얻는 데 더 관심이 있습니다. 1, q = 4 가져 오기 :
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
아직 아주 3은 아니지만 좀 더 추상화하면 도달 할 수 있습니다.이 연습은 관심있는 독자에게 맡기겠습니다.
부수적으로, 그 신진 수학자에게는 유한 장 \ mathbb F\_5에 다음이 있는지 확인할 수 있습니다.
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 왜냐하면 \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 및 \ frac12 \ equiv3