최상의 답변
예
삼각형 밖에 있습니다.
H는 \ Delta ABC의 직교입니다.
또한 \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
답변
삼각형 외부에있는 둔각 삼각형의 외심과 직교를 어떻게 찾습니까?
어떤 삼각형의 외심과 직교를 결정하는 한 가지 방법은 둔각이든 아니든 다음과 같습니다. 벡터와 행렬을 사용합니다.
소개 :
약간 관련되어 있으므로 계산을 표시 할 공간입니다.
정점 A, B, C가있는 삼각형이 있고 반대편의 길이가 각각 a, b, c라고 가정 해 보겠습니다.
우리는 \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) 및 \ vec {w} = \ vec {u의 세 가지 벡터를 정의합니다. }-\ vec {v} = \ left (BC \ right).
자, 죄 ce 벡터는 행렬입니다. 행렬 형식을 사용할 수 있습니다. 여기서 벡터 뒤의 T는 전치됨을 의미합니다. 따라서 \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2}, \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. 이것은 실제로 내적입니다.
혼동을 피하기 위해 \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v 표기법도 사용하겠습니다. } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2} 및 \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. 따라서 u \ equiv c, v \ equiv b , 및 w \ equiv a. 또한 모자를 사용하여 단위 벡터를 나타냅니다. 단위 벡터는 자신의 길이로 나눈 길이가 1 인 벡터입니다. 예 : \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
변환 행렬 :
이제 변환 행렬을 정의합니다. 2 차원에서 작업하는 경우 2×2 행렬이되고 3 차원에서 작업하는 경우 3×3 행렬이됩니다. \ theta\_ {A}는 \ vec {u}와 \ vec {v} 사이의 각도이며 정점 A에서의 각도입니다.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2}-\ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T}-\ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T}-\ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
변환 행렬을 사용하여 다른 벡터를 정의합니다.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2}-\ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
공식 :
H를 삼각형의 세 고도가 모두 교차하는 지점 인 직교 중심이라고하겠습니다. 고도는 반대쪽 다리에 수직 인 선의 각 꼭지점에서 이어집니다.
Q는 삼각형의 세 변의 수직 이등분선이 교차하는 지점 인 외심이되게합니다. 삼각형의 세 꼭지점을 모두 포함하는 원인 circumcircle의 중심입니다.
이제 몇 가지 작업을 통해 이제 다음과 같이 추론 할 수 있습니다.
\ quad \ 시작 {배열} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ 오른쪽)-\ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
말한 삼각형의 꼭지점을 벡터로 사용하여이를 대칭 공식으로 변환 할 수 있습니다.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right)-\ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right)-\ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ 오른쪽) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ 오른쪽) \ vec {B } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right)-\ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
제곱근도없고 삼각법 ar도 없습니다. e는 두 센터를 찾는 데 필요합니다.