우수 답변
먼저, \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
이제 Taylor 급수로 제곱근 함수를 표현하겠습니다. 수렴의 성가신 반경으로부터 안전하기 위해이 Taylor 시리즈를 약 16으로 계산할 것입니다. 그런 다음 계열에서 x = 20을 설정하여 \ sqrt {20}를 근사화하겠습니다.
모든 임의 함수 f \ left (x \ right)의 Taylor 계열 정의는 다음과 같습니다.
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
여기서 f ^ {\ left (n \ right)}는 f의 n 차 도함수를 나타냅니다. 많은 미분을 계산해야하며 다소 쉽게 눈에 띄는 패턴이 있기를 바랍니다.
f \ left (x \ right)는 이후부터 \ sqrt {x}를 나타냅니다.
f의 “0”도함수는 간단히 f입니다. 시리즈의 첫 번째 항의 계수로 f \ left (16 \ right)를 사용하겠습니다. (테일러 시리즈를 16 중심으로 결정했습니다. 16의 제곱근 는 간단합니다. 4 입니다. 4 개는 16 개입니다.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
알겠습니다. 상황이 조금 어려워 질 것입니다. 이제 \ sqrt {x}의 미분을 계산해야합니다.
승률 규칙에 따르면 \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. 이 경우 n = \ frac {1} {2} (\ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}로 가정)
따라서 \ frac {\ 텍스트 {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {-\ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {엑스}}. 따라서 급수의 다음 계수는 \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} 또는 간단히 \ frac {1} {8}입니다.
따라서 Taylor 급수의 다음 항은 f가됩니다. “\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} 또는 간단히 \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
다음은 지금까지의 부분 합계입니다.
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right ) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ cdots
알겠습니다. 이제 f \ left (x \ right)의 초 도함수를 계산하거나 단순히 \ frac {1} {2 \ sqrt {x의 도함수를 계산해야합니다. }}.
하나의 함수가 다른 함수 내에 구성되어 있으므로 체인 규칙을 사용해야합니다. 이후 한 함수는 g \ left (x \ right) = \ frac {1} {로 표시됩니다. x}이고 다른 하나는 이후 h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}로 표시됩니다. 도함수를 찾으려는 함수는 f “\ left (x \ right) = \입니다. frac {1} {2 \ sqrt {x}}. 즉, g \ left (h \ left (x \ right) \ right)의 미분을 찾고자합니다.
연쇄 규칙은 \ frac {\ text {d}} {\를 말합니다. text {d} x} g \ left (h \ left (x \ right) \ right) = g “\ left (h \ left (x \ right) \ right) h”\ left (x \ right).
g \ left (x \ right)의 미분은-\ frac {1} {x ^ 2}입니다 (제곱 법칙에 따름). h \ left (x \ right)의 미분은 \ frac {1} {\ sqrt {x}}입니다 (승률 규칙 및 \ left (cf \ left (x \ right) \ right)을 의미하는 속성에 따라) ” = cf “\ left (x \ right)).
이제 \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} =-\ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. 따라서 시리즈의 세 번째 계수는-\ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (또는 간단히-\ frac {1} {256})입니다.
시리즈의 세 번째 용어 :-\ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
지금까지의 전체 부분 합계 :
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ right) ^ 1} {1!}-\ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots
이제 f \ left (x \ right)의 4 차 미분을 계산하겠습니다.
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
수열의 네 번째 항은 \ frac입니다. {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
이제 합계에 4 개의 항이 있습니다.
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!}-\ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} + \ cdots
이 패턴을 계속하면 다음과 같은 계수 패턴을 얻게됩니다.
\ frac {1} {0.25 }, \ frac {1} {8 },-\ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192},-\ frac {15} {262144}, \ cdots
이제 패턴을 찾고 표현할 때입니다. 명시적인 공식을 사용하는 시퀀스.
n 번째 분모는 b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right)로 표현할 수 있습니다. b\_n = 2 ^ {5n-2} (초기 값 n은 0)입니다. 그것은 쉽다. 분자는 어떻습니까?
다음은 일련의 분자입니다 (기호 변경 무시, 나중에 처리됨).
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
흠…
…
분자의 패턴은 매우 간단합니다. 945를 가져와 105로 나눕니다. 9를 얻습니다. 다음으로 105를 가져와 15로 나눕니다. 계속해서 : 15 나누기 3은 5, 3 나누기 1은 3, 1 나누기 1은 1입니다. 여기에는 홀수의 곱이 포함됩니다.
그러므로 분자 시퀀스 (교대 제외)에서 \ left (n + 2 \ right) 번째 항은 다음과 같습니다.
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
분자의 공식은 파이 표기법의 형태입니다. 어떻게 든 계승 표기법을 사용하여 표현하면 더 좋을 것입니다.
처음 2n + 2 정수의 곱을 2에서 2n까지의 짝수 정수의 곱으로 나누면 1에서 2n + 1까지의 홀수 정수의 곱. 즉,
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
이제 pi 표기법을 제거하고 더 작고 우아한 표현으로 바꿀 수 있습니다. 보시다시피 항의 2는 자체적으로 n + 1 배가됩니다. 그래서 우리는 2를 빼서 대문자 pi 앞에 놓고 2를 n + 1의 거듭 제곱으로 올릴 수 있습니다. 따라서 다음과 같은 이점이 있습니다.
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
위 방정식은 다음과 같이 더 간단하게 작성할 수 있습니다.
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}
당신은 이미 바로 위에있는 식으로 주어진 시리즈가 두 항에서 벗어난 것을 이미 눈치 채 셨을 것입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리가해야 할 일은 분모 공식에서 모든 n을 찾아 2로 더하는 것입니다. 우리는 x의 거듭 제곱을 가진 나머지 항에 대해서도 동일하게해야합니다.
분모 공식은 마침내 2 ^ {5n + 8}입니다.
시리즈를 이동 했으므로 여전히 제외 된 항목을 표현식 어딘가에 포함해야합니다. 표현식에서 시그마 표기법 앞 에 나타나는 다른 용어가 있습니다. 이 항은 4와 \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)입니다.
열에있는 각 항의 계수는 다음과 같습니다.
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
아래로 단순화 :
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
이것은 시리즈의 n 번째 계수에 대한 공식입니다 (이는 t\_n에 대한 공식에서 오류를 유발할 수 있기 때문에 처음 두 항을 제외했습니다).
이제 작성을 시작할 수 있습니다. 시그마 표기법 (시그마 표기법의 앞에 몇 가지 내용이있을 수 있도록 시리즈를 변경했음을 기억하십시오).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ 오른쪽)
-\ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}-\ cdots
음수로 시작하는 교대 시리즈입니다. 따라서 항에 -1의 (n + 1) 제곱을 곱해야합니다.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ 오른쪽) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
정리 :
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!}
HA!
이제 “제곱근”함수에 대한 Taylor 시리즈가 있습니다. 이는 확실히 계산기에서는 해당되지 않습니다. 이제 남은 일은 우리가 방금 알아 낸 테일러 시리즈를 사용하여 20의 제곱근을 근사화하는 것입니다.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!}
간체 :
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4.5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
위의 표현식을 Desmos에 입력하고 \ infty를 15로 바꿨습니다. Desmos는 합계를 평가했습니다. 따라서 20의 제곱근은 약 4.472135955입니다.
그렇지 않으면 충분히 지루할 것이기 때문에이 답변에 깊이 들어갔습니다.
인터넷을 사용할 수있는 사람은 누구나 액세스 할 수 있습니다. 가장 과학적인 계산기. 제곱근 기능은 항상 연중 무휴 24 시간 사용할 수 있습니다. 덕분에 답을 확인해 보겠습니다.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
읽어 주셔서 감사합니다.
답변
음, 계산기없이 .
제곱이 20보다 작은 숫자를 4로 찾습니다.
제곱이 20보다 약간 큰 숫자를 찾습니다. , 5입니다.
그러므로 4 qrt (20)
이것이 확인되면이 두 숫자의 평균 인 4.5를 계산합니다.
AM ≥ GM 및 GM = √4 * 5 = √20.
따라서 √20 .5
그래서, 4 qrt (20) .5
4.5 제곱 계산… 4 * 5 + .25 = 20.25…
약간 높이…
그러므로 답은 4에 가깝지 않고 4.5 정도 여야합니다. .
이제 더 정확하게찾아 보겠습니다.
Take f (x) = sqrt (x)
f “(x) = o.5 / sqrt (x)
이제 f (20.25) = 4.5, f (20) =?
Take ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f “(x)
(Taylor s series는 1 차로 잘 리거나 Newton을 호출 할 수 있습니다. Raphson 방법)
이제 x와 ∆x를 대입하면
f (20) = 4.5 -0.25 * 0.5 (1 / 4.5)
= 4.5-(1/4) (1/9) = 4.5-.1111 / 4
= 4.5 -10 ^ (-4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4.5-10 ^-(4) [250 + 25 + 2.5 + 0.25]
= 4.5 -0.027775
= 4.472225
따라서 sqrt (20) ~ 4.472225
그리고 이것이 Google이 답변으로 제공 한 것입니다.
그래서 우리의 답변은 그렇게 나쁘지 않습니다 !!