우수 답변
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Answer
decal 의 기본은 id = “850f26e952″>
숫자를 나타내는 데 사용되는 “>
많은 형식. 그러나 많은 사람들이 (자신의 잘못없이) 숫자를 양식 자체와 연관시키는 것은 매우 일반적인 형식입니다. 두 숫자가 두 가지 다른 형태를 가지고 있다면 다른 숫자 여야합니다.
하지만 다음 두 숫자는 어떻습니까?
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {and} \ quad \ frac {1} {2}?}
표현 은 상당히 다르지만 필요한 계산 / 취소를 수행하면이 두 형식이 동일한 숫자 를 나타낸다고 거의 확신 할 수 있습니다.
그 이유는 무엇입니까?
우리는 분수를 배울 때 두 분수가 같은 숫자 일 수 있고 축약 형 분자와 분모가 1을 초과하는 공약수가없는 경우
그리고 우리는 그것을 유지합니다.
우리는 경험을 통해 그것을 확신합니다. 그 경험의 반복, 그리고 우리는 그 경험을 확인하기 위해 다른 형태를 사용할 수 있습니다.
숫자의 소수 표현에 대한 깔끔한 점은 대부분의 숫자 (특정 기술적 인 의미에서)의 소수 형식이 실제로 독특합니다 (하지만 대부분의 경우-같은 의미에서-모든 세부 사항을 적어 두는 것은 비현실적입니다. 그렇게합시다).
하지만 몇 가지 예외가 있습니다. “적다”는 것은 원칙적으로 (실제로는 아닐지라도) 십진수로 쓸 수있는 전체“많은”숫자와 비교할 때 의미합니다.예외는 합리적 숫자이며, 그 분모 (축약 형)는 만 2의 거듭 제곱 및 / 또는 5의 거듭 제곱을 갖습니다.
이해하는 데 필요한 도구는 수렴 기하학적 시리즈의 핵심입니다.
수렴 (무한) 기하학적 시리즈는 일련의 형식입니다.
\ displaystyle {\ qquad a + a \ times r + a \ times r ^ 2 + \ ldots + a \ times r ^ n + \ ldots.}
가장 높은 거듭 제곱 N을 가진 유한 한 수의 항 후에 시리즈가 종료되면 시리즈의 합이
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} {인지 매우 쉽게 확인할 수 있습니다. 1-r},}
무한한 합계가 무엇인지 묻습니다. 기존의 정의는 N이 임의로 커짐에 따라 총 값이 유한 한계에 접근 할 수있을만큼 항이 빠르게 작아지는 것입니다. 이 아이디어를 조사하면 공통 비율 r이 -1과 1 사이에 있어야한다는 조건이 있습니다. 또는 -1 에 해당하는 | r |
그러면 수식은 용어 r ^ N \ to0으로
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
가됩니다.
이제 십진수 표기법이 어떻게 정의되었는지 생각해보십시오. 실제로는 일련의 형식에 대한 속기 일뿐입니다.
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
여기서 k는 숫자보다 작은 10의 가장 높은 0이 아닌 거듭 제곱이고 a\_i, b\_j는 10 진수입니다 (0에서 9까지의 정수).
숫자 9.999 \ ldots = 9 \ dot9는 모든 양의 정수 j에 대해 k = 0이고 a\_0 = 9 = b\_j 인이 형식의 숫자입니다. 다행히도 이것은 우리에게 기하학적 시리즈의 형태를 정확하게 제공합니다! (숫자가 9에서 오른쪽으로 다른 10 진수 형식의 모든 숫자는 위와 같은 시리즈로 묶여 있습니다.)
우리는 그냥 연결하면됩니다. 첫 번째 항은 a = 9입니다. , 공통 비율은 r = \ frac {1} {10} 입니다. 따라서이 시리즈가 수렴된다는 것을 바로 알 수 있습니다.
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
매우 깔끔합니다.
물론 다른 트릭이 있습니다. 9. \ dot9 = 10 (십진수로, 어쨌든…)을 증명하는 데 사용할 수 있지만, 가장 좋은 점은 (제 생각에) 표기법의 의미와 작동 방식에 대해 이해하는 것입니다. 그러면 쉽게 이해할 수 있습니다. 위치 표기법에서도 모든 숫자가 한 가지 방식으로 만 표현되는 것은 아닙니다.
일반적으로 유효한 기수 b가있는 경우 해당 위치 기수로 표현되는 숫자는 형식 0입니다. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots는 항상 1과 같습니다. 따라서 이진법 (예 : 0.1 = \ frac {1} {2})에서는 0.111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. 무한 계열 “방법”은이 결과를 증명하는 동일한 방식으로 작동합니다.