우수 답변
2 + 2 =? 수학에서 가장 쉬운 문제 중 하나이며 아마도 처음 접한 문제 중 하나 일 것입니다. Kate가 사과 2 개를 가지고 있고 Matt가 사과 2 개를 더 주면 사과 4 개가 있습니다. 당연합니다.
하지만 2 + 2 =? “반드시 4와 같을 필요는 없으니까”당신은 아마도 그것이 어떻게 가능한지 궁금 할 것입니다. 증거는 연역을 통해 얻은 일련의 논리적 단계입니다 (그러므로 큰 도약을하지 않음). 정의에 의한 것이 아니라면 논리적으로), 따라서 경험적으로 (제공된 증거로부터) 직접적인 동등성 (다른 유형의 동등성 중에서 존재하지만 주로 순열, 곱셈 / 가산 적 및 부정적 / 긍정적 및 짝수 / 홀수)을 초래합니다. .. 메타 수학적으로) 상태의 최단 거리는 무한대, 0 및 / 또는 1입니다.
실제로 시도 된 “증명”2 + 2 = 5는 본질적으로 오늘날의 미적분학의 근원이었던 왜곡 된 유형의 삼각법을 기반으로합니다 (미적분의 개념에 맞지 않고 접선 또는 시컨트를 각각 그리려고 시도하십시오 “미분 및 적분). 두 숫자의 덧셈 동등성의 결과 “는 임의의 숫자와 유사 함, (b 왜냐하면 주어진 변의 빗변을 측정하는 것은 본질적으로 곱하기 때문에 부분적으로 비합리적입니다.)
(누가 궁금하게 만드는 … 2 * 2 = 5 등가물이 있습니까? 그리고 대답은 울려 퍼집니다. 예! 그러나 먼저 Charles Seife가 쓴 “증거”입니다.)
Let a = b and a and b = 1. 이제 이것 좀보세요…
b ^ 2 = ab … (eq.1)
a가 그 자신과 같기 때문에
a ^ 2 = a ^ 2 … (eq.2)
방정식 2에서 방정식 1을 빼면
a ^ 2-b ^ 2 = a ^ 2-ab. .. (eq. 3)
우리는 방정식의 양쪽을 인수 분해 할 수 있습니다. (a ^ 2) -ab는 a (a-b)와 같습니다. 마찬가지로, a ^ 2-b ^ 2는 (a + b) (a-b)와 같습니다. (여기서 수상한 것은 없습니다.이 문장은 완벽하게 사실입니다. 숫자를 연결하고 직접보십시오!) 방정식 3으로 대체하면 다음과 같습니다. get
(a + b) (ab) = a (ab) … (eq.5)
지금까지 훌륭합니다. 이제 방정식의 양변을 (ab)로 나누면
a + b = a … (eq.5)
b = 0 … (eq. 6)
하지만 우리는이 증명의 맨 처음에 b를 1로 설정했습니다. 따라서 이것은
1 = 0 … (eq.7)
… 어쨌든, 그 정도까지 나아가면 증명의 요점을 알 수 있습니다. 나중에 증명에서 Charles Seife는 계속해서 Winston Churchill이 당근이라는 것을 증명합니다! 그것이 어떻게 가능한지 알고 싶다면 책을 읽는 것이 좋습니다.
방정식 7에서 양쪽에 숫자를 더하고 다른 숫자와 같게 만드세요. p>
방정식 7을 더한 후 곱하면 다음을 얻을 수 있습니다. 모든 숫자는 다른 숫자와 동일합니다.
따라서 개념적으로 모든 숫자는 0과 같습니다. 무한대를 포함합니다. 그러나 그것은 또한 여러분이 0으로 나눌 때 “정의되지 않음”이되는 이유이기도합니다. 결과적으로이 방정식에서 일어나는 일입니다. 1을 방정식 3에 대입하면 우리가 0으로 나누는 것을 볼 수 있습니다. 방정식 5에서.
이것이 미적분학의 발명으로 이어진 것입니다. 실제로 여기에서 이것은 Hilbert Space로 세그웨이로 나뉩니다. 그러나 이것은 양자화의 실제 주제에 대한 또 다른 항목으로 남겨 두는 것이 가장 좋습니다. .
그게 제가 시간을 가지고있는 전부입니다 …
이 증거는 정의가 잘못되었습니다.하지만 우리가 수학에서 사물을 정의하는 이유에 대한 좋은 도구를 제공합니다.
여기에서 물어볼 좋은 질문은 (이전 탄젠트를 기반으로) 다음과 같습니다.
1/3 + 1/3 + 1/3 = 1입니까? 아니면 0 점 9 반복과 같습니까? 출처 : Zero : Biography of a Dangerous Idea by Charles Seife
Answer
10 진법을 가정하여 시작하겠습니다.
Peano는 시도에서 이러한 공리를 도입했습니다. 산술을 공식화합니다. 일관성있는 것으로 입증되지는 않았지만 그 자체로는 합리적으로 간주됩니다. 일반적으로 0을 자연수라고 생각하지는 않지만,이 과정을 좀 더 쉽게 만들 수 있습니다. 첫 번째 자연수로 0을 정의하는 것입니다. 0 \ in \ mathbb {N}.
Peano는 자연과의 평등에 대해 다음과 같이 정의합니다.
- 평등은 대칭 . (예 : \ alpha = \ beta \ implies \ beta = \ alpha)
- 균등은 반사적 입니다. (즉, 모든 자연 \ alpha에 대해 \ alpha = \ alpha)
- 동등은 전 이적 입니다. (즉, \ alpha = \ beta 및 \ beta = \ gamma이면 \ alpha = \ gamma)
- 자연은 평등하에 닫힙니다. (\ alpha가 자연수이고 \ alpha = \ beta 인 경우 \ beta도 자연수입니다.)
이제 injective , (S (\ alpha) = S (\ beta) \ implies \ alpha = \ beta) \ text {denoted} S. naturals는 후속 함수 아래에서 닫힙니다.후속 함수는 자연수를 취하여 후속 함수를 출력합니다. 즉. S (0) = 1, S (1) = 2입니다.
0이 후속 함수 인 숫자가 없습니다.
후속 함수를 사용하여 첫 번째를 결정할 수 있습니다. 소수의 원주민,
\ mathbb {N} = \ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \ ldots \}, 여기서 \ mathbb {N}은 해석됩니다. 세트로. 따라서 S (0) = 1, S (1) = 2, S (2) = 3, S (3) = 4가됩니다.
이렇게 말하면 다음을 사용하여 산술을 정의 할 수 있습니다. 후속 기능.
- Def. 01 : \ alpha + 0 = 0 + \ alpha = \ alpha
- Def. 02 : \ alpha + S (\ beta) = S (\ alpha + \ beta).
우리는 수학자들을 괴롭힌 2 + 2라는 끔찍한 문제에 직면했습니다. 수세기 동안.
\ displaystyle 2 + 2 \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} 2 + S (1) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def2}} S (2 + 1) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} S (2 + S (0)) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def2}} S (S (2 + 0) ) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def1}} S (S (2)) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} S (3) \ underbrace {=} \_ {\ text { by def}} 4.
\ 따라서 2 + 2 = 4 \ blacksquare.