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George Gamow는 그의 책 “Gravity”에서 갈릴레오가이 공식에 어떻게 도달했는지 설명합니다.
갈릴레오는 떨어지는 시체를 연구하고있었습니다. 그는 물체가 떨어질 때 걸리는 시간과 그 거리 사이의 수학적 관계를 알고 싶었습니다. 그래서 그는 실험을했습니다.
그는 경사면을 만들었습니다. 그런 다음 그는 다른 재료의 공을 비행기 아래로 굴 리게했습니다 (그는 그들을 밀지 않았습니다). 그는 1 초, 2 초, 3 초, 4 초가 끝날 때 공이 가린 거리를 측정했습니다. 그는 공의 자유 낙하를 직접 배열 할 수있었습니다. 그러나 자유 낙하가 매우 빠르며 당시 그는 좋은 시계를 가지고 있지 않았습니다. 경사면 실험을 통해 공에 작용하는 중력을 줄이고 경사면의 경사에 따라 바닥까지 도달하는 시간을 늘렸다. 다음 그림은이를 설명합니다.
그림에서 볼 수 있습니다.
[math] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ math].
따라서 x가 작을수록 힘을 유발하는 운동이 적고 공이 바닥에 도달하는 데 걸리는 시간이 더 많을 것입니다. 갈릴레오는 2 초, 3 초, 4 초가 끝날 때 공이 가린 거리가 1 초가 끝날 때 가린 거리의 각각 4, 9, 16 배라는 것을 발견했습니다. 이는 공이 이동하는 시간의 제곱에 따라 공이 덮는 거리가 증가하는 방식으로 공의 속도가 증가 함을 보여줍니다. 이제 문제는 위의 거리-시간 관계에 주어진 시간과 속도를 연관시키는 방법이었습니다. 갈릴레오는 공의 속도가 시간에 정비례 할 때만 이러한 거리-시간 관계를 얻을 수 있다고 말했다. 다음 그림은 위에서 언급 한 실험과 Galileo의 성명서의 속도 대 시간 플롯을 보여줍니다.
위 그림에서 포인트 A는 공의 제로 위치 (경사면 상단)에 해당하고 점 B는 시간 간격 t의 끝에서 속도 v를 갖는 공에 해당합니다. 삼각형 ABC의 면적이 공이 차지하는 거리를 제공한다는 것을 알고 있습니다. , s, 시간 간격 (0, t). 따라서 포함 된 거리는 다음과 같습니다.
s = \ frac {1} {2} vt.
그러나 Galileo “s에 따라 인수, v는 t에 정비례합니다. 즉, v = 여기서 a는 가속도입니다.
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} at ^ 2. [/ math]
따라서 거리가 늘어납니다. 실험적 관찰 인 시간의 제곱으로. 이 공식은 공에 주어진 초기 속도가 없을 때 커버되는 거리를 제공합니다. 그러나 공이 어떤 초기 속도 u를 가질 때, “ut”라는 용어는 속도 u에서 시간 t에 포함 된 거리 인 위의 공식에 추가됩니다. 이 용어는 실험에서 측정 된 거리를 늘리지 만 동일한 거리-시간 관계를 유지합니다. 따라서 최종 공식은 다음과 같습니다.
s = ut + \ frac {1} {2} at ^ 2.
Answer
관련된 것을 증명하려고 할 때 양의 정수에 대한 첫 번째 생각은 귀납적이어야합니다. 문제는 즉시 진행할 수있는 확실한 방법이 없다는 것입니다. 우리는 불평등의 양쪽에 무언가를 추가 할 수 있기를 원하지만 오른쪽의 경계가 증가 할 것입니다.
이 문제의 트릭은 실제로 경계를 현재보다 더 강하게 만드는 것입니다. 따라서 관련 진술을 증명할 것입니다.
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4}-\ dfrac {1} {n}
모든 양의 정수 n \ geq 3. 원래 문은 다음과 같습니다. n이 무한대에 접근하도록 허용합니다.
양의 정수 k에 대해
\ dfrac {1} {k}-\ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k}-\ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
이것을 알고 귀납법으로 진행할 수 있습니다.
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4}-\ dfrac {1} {3}, 기본 사례 n = 3이 참입니다.
이제 어떤 k에 대해 진술이 참이라고 가정합니다. 즉
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4}-\ dfrac {1} {k}.
문은 k + 1에도 적용됩니다. 이렇게하려면 양쪽에 \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}을 추가합니다.
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4}-\ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
위에서 입증 된 부등식으로부터 이것은 다음과 같이 단순화됩니다.
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4}-\ dfrac {1} {k + 1},
정확히 증명하고 싶었습니다.
따라서 수학적 귀납 원리에 따라 수정 된 문은 모든 정수 n에 대해 참입니다. \ geq 3이므로 원래 진술도 사실입니다.
편집 : Predrag Tosic이 주석에서 지적했듯이 n이 무한대에 접근하도록 허용하면 호를 \ leq in으로 변경해야합니다. 부등식의 두 변이 같은 값으로 수렴하는 경우.그러나 부등식을 대신 증명하여 해결할 수 있습니다.
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4}-\ epsilon-\ dfrac {1} {n}
\ epsilon ( \ dfrac {1} {100}), n이 무한대에 가까워지면
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4}-\ epsilon,
원하는 문이 뒤 따릅니다.