최상의 답변
일반 오각형은 테셀레이션하지 않습니다.
정규 다각형이 정점에서 정점으로 테셀레이션하려면 내부 다각형의 각도는 360도를 균등하게 나누어야합니다. 108은 360을 균등하게 나누지 않기 때문에 일반 오각형은 이러한 방식으로 테셀레이션하지 않습니다.
정점 중 하나를 정점 대신 가장자리에 배치하려고하면 비슷한 이유로 작동하지 않습니다. 일치하지 않습니다.
그러나 아래 예와 같이 정점에서 정점으로 바둑판 식으로 배열하는 테셀레이션을 수행하는 오각형이 많이 있습니다. 단일 꼭지점 주변의 모든 다각형 각도의 합이 360 도임을 알 수 있습니다.
각 상태를 확인하는 것은 다음과 같습니다. 다각형이 테셀레이션되는지 확인하는 데 필요한 유일한 조건은 아니지만 매우 쉽게 확인할 수 있습니다.
답변
정삼각형, 정사각형 및 정육각형의 세 개의 정다각형 만 테셀레이션됩니다.
다각형 모서리의 각도로 인해 다른 정다각형은 테셀레이션 할 수 없습니다. 평면을 테셀레이션하려면 정수면이 한 지점에서 만날 수 있어야합니다. 일반 다각형의 경우 다각형 모서리의 각도가 360 도로 나뉘어 야 함을 의미합니다. 또한 모든 볼록 다각형의 경우 외부 각도의 합이 360도 여야하며 일반 다각형의 경우 외부 각도가 같아야하고 합계가 360도 여야합니다. 이것은 일반 n-gon의 내부 각도가 180 ^ \ circ-\ frac {360 ^ \ circ} / n임을 의미합니다. 따라서 모서리 주위에 맞출 수있는 규칙적인 n-gon의 수는 \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} {입니다. 180 ^ \ circ n-360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}, 정수인 경우에만 가능합니다. .
정삼각형은 변이 3 개이므로 점 주위에 \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 개의 정삼각형을 맞출 수 있습니다. 테셀레이션은 배제되지 않습니다.
사각형에는 변이 4 개 있으므로 점 주위에 \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 개의 정사각형을 맞출 수 있습니다. 테셀레이션은 배제되지 않습니다.
펜타곤에는 5 개의 변이 있으므로 점 주위에 \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 오각형을 맞출 수 있습니다. 정수가 아니므로 테셀레이션이 불가능합니다.
육각형에는 6 개의 변이 있으므로 \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 개의 육각형을 맞출 수 있습니다. 테셀레이션은 배제되지 않습니다.
하지만 그보다 더 많은면이 있습니까? 음, 불가능합니다. \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2} 및 2 < \ frac {2n} {n-2}, 따라서 n> 6의 경우 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3이므로 규칙적인 칠각형, 팔각형, 비 각형 등, 점 주위에 정수 수를 넣을 수 없습니다.
이것은 오각형, 칠각형, 팔각형 등이 테셀레이션되지 않는다는 것을 의미하지는 않습니다. 일반 오각형, 일반 칠각형 또는 일반 팔각형 등이 아닙니다.