우수 답변
Gavin Song은 이미 훌륭한 답변을 제공했지만 최선을 다해 대안을 제공하겠습니다. 미적분을 사용하여이 문제를 보는 방법입니다.
사실 : 모든 2D 타원은 다음과 같이 매개 변수화 할 수 있습니다.
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
여기서 0 \ leq t \ leq 2 \ pi 및 a와 b는 준 단조 및 준 장조입니다. 축 (수직 및 수평 반경이라고도 함).
점의 x 축과 y 축에 다른 점이 있다고 가정합니다 (예 : \ Delta y 및 \ Delta x). 피타고라스 정리를 사용하면 점의 초기 위치와 최종 위치 사이의 길이가 (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}로 주어집니다. 간단하지 않습니까?
이제 해당 논리를 매개 변수화 된 타원에 적용합니다. 타원의 둘레를 근사화하기 위해 t의 여러 단계를 따라 타원의 한 지점을 “추적”하고 각 간격에서 위치 사이의 길이를 측정하고 끝에서 합산 할 수 있습니다. 이 작업을 혼자 시도하면 더 작고 더 작은 간격을 고려하면 측정이 점점 더 정확 해지는 것을 알 수 있습니다. 따라서 실제 둘레를 얻기 위해 무한히 작은 간격으로이 프로세스를 수행 할 수 있습니다.이 과정은 x와 y에 무한히 작은 변화 (예 : dx 및 dy)를 제공합니다. 이는 다음 적분을 평가하는 것과 같습니다.
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
둘레를 l로 표현합니다. 이전의 매개 변수화를 사용하면 이것을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
하지만 문제가 있습니다. 이 적분은 a = b (원의 둘레에 대한 공식을 우아하게 제공함)가 아니면 상징적 인 솔루션이 없으므로, 우리의 유일한 옵션은 좋은 근사치를 얻기 위해 수치 적 방법을 사용하는 것입니다. 흥미 롭거나 실망 스러울 수 있지만 어떤 식 으로든 도움이 되었기를 바랍니다.
🙂
답변
당신이 저를 참아 주시면 이 질문을 반대로 생각해보십시오.
원과 타원의 면적이 같다고 가정합니다.
제 질문은 “둘의 둘레가 같습니까?”입니다.
(a = b = r 일 때 공식은 원의 면적과 동일합니다.)
원주 원은 2πr
타원의 원주는 계산하기 매우 어렵습니다!
사람들은 타원의 둘레를 구하기위한 공식이 있지만 대부분의 시도는 근사치 일뿐입니다.
어떤 방법은 무한 급수를 더하는 것까지 포함합니다!
유명한 인도의 수학자 Ramanujan은 다음과 같은 아주 좋은 공식을 만들었습니다. 매우 정확합니다.
a = b = r이면 타원이 원이되고 위의 공식이 원의 둘레에 대한 공식 C = 2πr .
이를 그의 공식으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
원의 반경이 6 cm이고 타원의 장축은 9 cm이고 단축은 4 <입니다. / span> cm.
원의 면적 = π × 6 × 6 = 36π sq cm
타원 = π × 9 × 4 = 36π sqcm
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원의 원주 = 2πr = 12π cm
Ramanujan의 공식을 사용한 타원의 원주는 다음과 같습니다.
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결론, 원과 타원의 면적이 같으면 타원 은 더 큽니다. 원 보다 원주입니다.