정답
저는 한 때 전용 사립 학교에서 중학생 수학을 가르치고있었습니다. 나는 오만하고 끊임없이 저와 다른 학생들을 괴롭히는 학생이있었습니다. 행정부는 그를 징계하려는 나의 시도를지지하지 않았습니다. 나는이 해결책을 생각해 냈습니다.
나는 그가 소수에 대한 패턴을 찾을 수 있다면 그가 다음 패턴을 예측할 수 있다면 그는 많은 돈을 벌고 유명해질 수 있다고 말했습니다. 그는이 도전을 좋아했고 그것에 전념하기 시작했습니다. 그는 페이지와 계산 페이지를 가지고 있었고 다시는 나를 괴롭히지 않았습니다. 가끔씩 그의 작품에 관심을 보였고 그는 “내가 뭔가를하고있는 것 같아요 …”라고 말하곤했습니다.
나는 그가 아무것도 찾을 수 없다는 것을 알았습니다. 소수에 대한 패턴이 없습니다. 패턴이있는 것처럼 보이는 일부 지역이있을 수 있지만 전체 패턴이없고 테스트없이 NEXT 소수를 예측하는 공식이 없습니다.
이렇게 생각해보십시오. 당신은 2, 3, 5, 7, 11, 13이 소수라는 것을 알고있는 구석기 시대 사람입니다. 다음 소수가 무엇인지 궁금합니다. 테스트 없이는 찾을 수 없습니다. 14를 테스트 할 수 있습니다. 아니요. 15, 아니요. 16, 아니요. 17, Bingo.
다음 숫자가 너무 커서 숫자의 제곱근 (17 : 2, 3, 4의 경우)까지 포함하는 요인 만 테스트하면됩니다. 하지만 테스트가 필요합니다. 이 테스트는 계산에 오랜 시간이 걸립니다. 이것이 현재 암호화의 기초입니다. 다음 소수를 예측할 수 있다면 우리의 모든 비밀번호는 알몸이 될 것입니다.
수학자들은 숫자의 중간에이 혼란이 있다는 것을 인정하는 것을 싫어하는 것 같지만, 그렇습니다. p>
패턴이 없음을 어떻게 알 수 있습니까?
패턴 : (사전 정의) • 비교 대상 또는 이벤트에서 정기적으로 발견되는 배열 또는 시퀀스. • 특정 행동이나 상황에서 식별 할 수있는 규칙적이고 이해하기 쉬운 형태 또는 순서.
따라서 패턴은 REGULARITY 또는 REPETITION을 의미합니다. MULTIPLICATION은 REPETITIVE ADDITION이기 때문에 REPETITION은 MULTIPLICATION을 의미합니다. 곱셈은 FACTORS를 의미하며 소수 인 경우 인자를 가질 수 없습니다.
계산 : (정의) 수학적으로 (무언가의 양 또는 수)를 결정합니다. 숫자가 수학적으로 소수인지 확인하지 않습니다. 실험적으로 수행합니다.
소수에는 패턴이 없지만 특정 경향이있는 것 같습니다. 수량이 증가함에 따라 더 희박 해지는 경향이 있지만 갑자기… 두 가지가 함께 보입니다. 이것을 트윈 프라임이라고합니다. 예 : (41, 43), (137, 139). 소수와 같은 쌍둥이 소수가 무한한지 아무도 모릅니다. 입증되지 않았습니다.
Wikipedia :“현재 알려진 가장 큰 쌍둥이 소수 쌍은 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1이며 십진수 388,342 개입니다. 2016 년 9 월에 발견되었습니다.” 트윈 프라임-Wikipedia
프라임 자체와 마찬가지로 이러한 쌍둥이 프라임이 언제 올지 예측할 수있는 방법은 없습니다. 을 따라서. (종료 여부를 증명할 수 있습니다. 시도해보십시오.)
어떤 사람들은 Ulam Spiral에 “패턴”이 있다고 생각합니다. Ulam spiral-Wikipedia
그러나 그림을 다운로드하고 부 풀리면 직선이 나타난 다음 사라집니다. 소수는 무한합니다. 따라서 물론 통계적으로 (ARBITRARY Base 10 시스템에서) 일부 직선이 때때로 나타날 것입니다. 예를 들어 동전을 던질 때 가끔 머리가 많이 나올 것입니다.
(또한 Ulam Spiral은 사각형을 사용합니다. 삼각형이나 육각형과 같은 다른 영역 채우기 모양을 사용하면 다른 나선형이 나타날 것이라고 생각합니다.)
과학은 예측하기 위해 패턴을 찾는 것입니다. 다음 월식이 언제인지 예측할 수 있고, 내일 해가 뜨는 시점을 예측할 수 있으며, 물이 얼고 끓을 때를 예측할 수 있지만 다음 소수는 예측할 수 없습니다.
요약 : 뱀을 집을 수는 있지만 어느 방향으로 비틀어 질지 모릅니다.
참고 :이 답변은 대부분 내 이전 답변을 기반으로합니다.
Bill Lauritzen의 대답은 소수로 패턴을 발견하는 사람에게 상이 있습니까?
답변
소수의 분포가 무작위로 보일 수 있다는 것은 사실입니다 (그리고 어느 정도는 그렇습니다). 그러나 분석적 수 이론의 도구는 소수 분포에 대한 결정적인 통찰력을 제공하고 많은 흥미로운 패턴을 드러냅니다
\ pi (x)는 소수의 수 \ leq x를 나타내며, 여기서 x는 양의 실수 변수입니다.
prime number theorem 에 따르면, 좋은 기초 증명을 알지 못합니다 (내가 아는 가장 간단한 것은 복잡한 분석을 사용함). 다음은 x가 무한대에 가까워짐에 따라 \ pi (x)에 해당됩니다.
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
~는 점근을 나타냅니다. 동등성, 주요 아이디어는 \ pi (x) 함수가 \ frac {x} {\ log x} 함수에 매우 가까워지고 x가 커짐에 따라 근사가 점점 좋아진다는 것입니다.
초등 미적분학에 익숙한 사용자의 경우 x가 무한대 \ frac {f (x)} {g (x)}에 가까워지면 f (x) \ sim g (x)가 1입니다.
고등 수학에서 평소와 같이 로그는 자연 로그를 나타냅니다. 이것은 또한 p (n)이 n 번째 소수를 나타내는 경우 다음을 의미합니다.
p (n) \ sim n \ log (n)
또 다른 쉬운 콜 러리는 다음과 같습니다. 처음 n 개의 양의 정수에서 임의의 정수를 선택하면 소수 일 확률은 약 \ frac {1} {\ log n}
약간 덜 직관적 인 소수 정리의 또 다른 형태입니다. 그러나 경험적으로 더 정확한 것은 다음과 같습니다.
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
두 경우 모두 왼쪽 변은 정수이고 오른쪽은 끔찍한 초월 적 함수입니다 (이상하게도 왼쪽보다 조금 더 쉽게 평가할 수 있습니다). 어쨌든 \ pi (x)를 \ int\_2로 근사하면 약간의 오류가 있습니다. ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
아직 입증 된 최상의 오차 한계를 잘 모르겠습니다. 그러나 Riemann 가설이 사실로 밝혀지면 우리는 오류 바인딩 :
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
마찬가지로 오류 경계가 참이면 Riemann 가설. 이 오류 경계에 대한 것은 “엄격하다 : 우리는 더 잘할 수 없다는 것을 알고 있습니다.
소수 정리가 아마도 분석적 숫자 이론에서 가장 중요하고 흥미로운 결과라고 말할 것입니다.
tl; dr, 소수는 비교적 쉬운 분석 함수와 같은 분포를 점근 적으로 따르므로 패턴이 있습니다.