최상의 답변
직관적이지만 모호한 개념을 취하여 수학이 어떻게 작동하는지 보여주기에 좋은시기입니다. 영리한 정의로 정확합니다.
반대로 무엇을 의미해야합니까? 합리적으로 의미하는 것은 x에 대해 \ vee (원하는대로 부르면 banana 가 좋은 이름) 작업을 수행 할 때 그 반대 x ^ *, 결과는 바나나 중립 요소 n이어야합니다. 즉, x와 “anti-x”는 x \ vee x ^ * = n이되도록 서로를 취소해야합니다. 현재로서는 이러한 형식적 속성 외에는 바나나에 대해 많이 알지 못합니다. n이 중립이라는 개념은 이러한 의미에서 어떤 y에 대해서도 y \ vee n = y를 가져야한다는 것을 의미합니다. 즉, n은 바나나가 두 가지 모두에 적용될 때 y에 영향을주지 않습니다.
이 반대 성 개념은 수학의 기본 개념이며 x ^ *의 더 일반적인 이름은 작업에 대해 x \ vee.
\ vee가 일반 덧셈 + 숫자, x ^ *는 x + (-x) = 0이 중립 요소이기 때문에 -x로 표시됩니다. 실제로 모든 y에 대해 y + 0 = y입니다. 따라서이 경우 0의 반대는 -0, 그 자체가 0!
\ vee가 곱셈 일 때 중립 요소는 1입니다 (왜?). 그러면 0은 0이 아니기 때문에 반대가 아닙니다. 수학자들이 0과 반대되는 곱셈을 발명하는 문맥이 있으며 보통 \ infty라고 부르는데, 이는 말이됩니다.
답변
이전에는 몇 가지 논쟁의 주제였습니다. Donald Knuth가 1992 년에 문제를 바로 잡기 전까지는 수학계에서 약간의 혼란이 남아 있음을 이해할 수 있지만 현대적인 관습은 정당한 이유로 0 ^ 0 = 1을 정의하는 것입니다.
0 ^ 0은 무엇을합니까? 평균? 아마 여러분은 n 번째 거듭 제곱을 n 번째 거듭 제곱 (n> 0)으로 나누어 0 번째 거듭 제곱을 계산한다고 배웠을 것입니다. 0 ^ 0의 경우에는 도움이되지 않으며 일부 사람들은 0 ^ 0을 정의되지 않은 몫 \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00과 연관 시키게됩니다. 이 사람들은 0 ^ 2가 완벽하게 잘 정의되어 있고 정의되지 않은 몫과 연관 될 수 없다는 것을 깨닫지 못했습니다. \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00— 우리는 증명할 수 없습니다. 이전에 존재하지 않았던 0으로 나누기를 도입하여 무엇이든 가능합니다.
하지만 나누기에 호소 할 필요는 없습니다.
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
내가 모든 사과를 n 번 제거한다면 (n> 0) , 남은 사과가 없습니다. 하지만 내가 당신의 모든 사과를 0 번 제거해도 당신은 여전히 모든 사과를 가지고 있습니다. 더 간결하게 말하면 0 ^ 0 = 1은 빈 제품 의 경우입니다. 0! = 1.
그렇다면 이것이 받아 들여지기까지 왜 그렇게 오래 걸렸습니까? 명백한 문제는 제한 형식 0 ^ 0이 \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x)라는 의미에서 불확실한 형식이라는 것입니다. = \ lim\_ {x \ to a} g (x) = 0은 \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} 한계에 대한 정보를 제공하지 않습니다 * : 음이 아닐 수 있습니다. 특정 함수에 따라 실수, \ infty 또는 존재하지 않을 수 있습니다. 이것은 한 세기가 넘도록 위의 단순한 직관과 상충되는 것처럼 보였다. 하지만 중요한 사실은 미확정 제한 형식이라는 것입니다. 0 ^ 0 는 값 0 ^ 0 . 동일한 객체가 아닙니다. 제한 형식 0 ^ 0은 앞서 언급 한 제한의 약어 일 뿐이며 불확실성은 지수 화가 연속 함수가 될 수 없음을 의미합니다. (0, 0)의 모든 이웃에 있습니다.
놀라워서는 안됩니다. 예를 들어, \ lfloor 0 \ rfloor 역시 불확실한 형태입니다 (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor가 존재하지 않습니다. \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), 그러나 우리는 여전히 \ lfloor 0 \ rfloor = 0을 값으로 씁니다.
그래서 우리는 이제 0 ^ 0에 유용한 값을 할당합니다. 이것은 1입니다. 왜 이것이 유용한가요? 특별한 경우를 추가하지 않고도 지수를 조작 할 수 있기 때문입니다.
- \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n이 다항식 인 경우, p (0) = a\_0은 상수항입니다. 그러나 0 ^ 0 = 1이 아니면 다항식을 작성할 수도 없습니다. 무한 거듭 제곱의 경우에도 마찬가지입니다. 여기서 d는 \ infty로 대체됩니다.
- 무한 기하학적 시리즈 의 평가 : \ begin {split} \ textstyle (1-x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n-x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n-\ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n-\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} 그래서 \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1-x}. | x |에 대해 완전히 유효하며 연속적입니다. , at x = 0, 0 ^ 0 = 1 필요
- 이항 정리 (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k는 a = 0 또는 b = 0 인 경우에도 유지되지만 0 ^ 0 = 1이 필요합니다.
- 전력 규칙 \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n-1} (n \ ne 0)은 n = 1 인 경우에도 유지됩니다. x = 0이지만 0 ^ 0 = 1이 필요합니다.
- Jack Huizenga의 답변은 다른 예를 제공합니다. 함수 수 f \ colon S \ to T는 \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}이지만 0 ^ 0 = 1 인 경우에만 해당됩니다.
- 교회 숫자 인코딩의 자연어, 지수는 함수 응용이며 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* 0 ^ 0이 불확정 형이라는 의미는 다른 불확정 형보다 약합니다. 복잡한 분석 함수 f, g의 경우 \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x ) = 0, 우리는 항상 \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} = 1입니다. f가 동일하게 0이 아니면 (한계가 존재하지 않는 경우)
Donald Knuth는 역사적 배경과 함께 “ 두 가지 표기법 “(1992, p. 6)에서 기본적으로 동일한 답변을 제공합니다.
그러나 [Libri의] 논문 [33]은 0 ^ 0이 정의되었는지에 대한 논란을 불러 일으켰 기 때문에 처음 등장했을 때 수학적 물에서 여러 잔물결을 생성했습니다. 대부분의 수학자들은 0 ^ 0 = 1에 동의했지만 Cauchy [5, 70 페이지]는 정의되지 않은 형식의 표에 0/0 및 \ infty-\ infty와 같은 다른 표현과 함께 0 ^ 0을 나열했습니다. 방정식 0 ^ 0 = 1에 대한 Libri의 정당화는 설득력이 없었으며 그의 이름을 단순히 “S”에 서명 한 해설자가 공격에 올랐습니다 [45]. August Möbius [36]는 전 교수가 0 ^ 0 = 1 (기본적으로 \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = 1이라는 증거)을 믿는 이유를 제시함으로써 Libri를 변호했습니다. Möbius는 또한 더 나아가 \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 when \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} g (x) = 0. 물론 “S”는 [3] Möbius가 f (x) = e ^ {-1 / x}와 같은 함수에 대해 알고 있는지 물었습니다. 및 g (x) = x. (그리고 논문 [36]은 Möbius의 수집 된 작품이 궁극적으로 출판되었을 때 역사적 기록에서 조용히 생략되었습니다.) 논쟁은 거기서 멈추었고, 분명히 0 ^ 0이 정의되지 않아야한다는 결론에 도달했습니다.
그러나 아닙니다. , 아니, 만 번 아니! 이항 정리 \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n-k}가 적어도 하나의 음이 아닌 정수 n 반드시 0 ^ 0 = 1이라고 믿어야합니다. x = 0 및 y = 1을 연결하여 왼쪽에 1을, 오른쪽에 0 ^ 0을 연결할 수 있기 때문입니다.
빈 집합에서 빈 집합으로의 매핑 수는 0 ^ 0입니다. 1이 입니다.
반면, Cauchy는 0 ^ 0을 정의되지 않은 제한 형식 , f (x) ^ {g (x)}의 제한 값을 알 수 없다는 의미에서 a priori f (x)와 g (x)가 독립적으로 0에 접근 할 때. 이 훨씬 더 강한 의미에서 0 ^ 0의 값은 0 + 0의 값보다 덜 정의됩니다. Cauchy와 Libri는 모두 옳았지만 Libri와 그의 수비수는 진실이 왜 그들의 편인지 이해하지 못했습니다.