우수 답변
Given Rt Triangle, 변 18, 24, 30; 내접원의 반경을 찾으십시오.
간단한 답변; Rt 삼각형에서 내접원 반경의 공식은 다음과 같습니다.
면적 / (1/2 경계)
면적 높이 X베이스의 절반; 즉
18 * 12 = 216
둘레는 18 + 24 + 30 = 72입니다. 2로 나누기
72 / 2 = 36
원 반경은 216/36 = 6cm 입니다.
긴 대답
건설 :
Bisect AC, 그리고 CA 교차로에서 BC, Ok so let go… ..
나침반과 연필로 원이 어느 한면에 닿도록하고, 그 주위를 따라 가면 다른 두면에 닿습니다.
AD와 CE의 레이블 교차점, O.
이로부터 P, Q 및 R에서 각면에 수직으로 떨어집니다.
교차점 O는면 AB, BC 및 AC에서 등거리에 있습니다. (아래 III 참조)
I.
삼각형, BPO 및 BRO를 고려하십시오.
각도 BO = BO (구성)
선 BO는 두 삼각형 모두에 공통입니다.
각도 RO = PO (구성된 Rt 각도).
에르고 삼각형 BPO와 BRO는 합동입니다.
이것은 BP = BR 라인을 따릅니다.
그러나 우리는 BR = BC-r이라는 것을 알고 있습니다.
그래서 BP = BC-r; 또는 24-r.
같은 주장으로 PA = AC -r : 또는 18-r을 증명할 수 있습니다.
그래서
BP = 24- r; PA = 18-r; 및 BP + PA = BA.
결론 결합 …… BP + PA = (24-r) + (18-r) BP와 PA를 BA로 대체하고 단순화….
그래서 BA = 42-2r.
그러나 BA = 30 (주어짐). BA를 대체합니다.
30 = 42-2r… 단순화…. 2r = 42-30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
반경은 => 6 단위 인 것으로 나타났습니다.
산술은이 삼각형 시리즈의 모든면의 합, / 12 = 내접 반경으로 나타납니다. circle.
18 + 24 + 30 = 72
Radius = 72/12 = 6.
도움이 되길 바랍니다.
Re ; 다른 답변의 공식은 각각 감사합니다. 나에게 새로운!… 웃음. 저는 Quora에서 매일 새로운 것을 배웁니다. 내가 가장 좋아하는 것은 area / (0.5 * perimeter) = inscribed circle radius… .216 / 36 = 6…
EDIT 6 / 26 / 17
III.
p>
그림 구성에서
삼각형 BPO와 BOR은 합동이며 위에서 입증되었습니다. 또한 APO와 AOQ는 합동으로 입증 될 수 있습니다.
Ergo
라인 OP = OR 및 OQ = OP. OP는 OR과 OQ와 같기 때문에 서로 동일합니다. 즉-OR = OQ입니다. 결과적으로 이것은 각도의 이분법이 그림의 중심, 직각 삼각형, 3면에서 등거리라는 증거입니다.
QED
Answer
좋은 질문을 해주셔서 감사합니다, 로이드 씨-질문에 대한 답변은 예 일뿐만 아니라 무한히 많은 (평면 ) 요청한 속성을 가진 삼각형과 그 중 일부 를 이러한 방식으로 인서 클의 반경에 따라 멋지게 정렬 할 수 있습니다. 반지름은 자연수 1, 2, 3, 4 등의 집합을 그림자로 표시합니다.
즉, 다가오는 토론을 잠재적으로보다 공식적인 증거를위한 청사진으로 사용하면 모든 변의 길이가 정수인 삼각형을 생성하는 기계적인 방법을 보여주고, 반경의 길이는 미리 주어진 정수 n입니다.
사이드 바 : 이러한 유형의 질문 할 일이 많다 기본 수 이론과 기하학과는 거의 관련이 없습니다.
iv id = “93c0af7b55 인 (평면) 삼각형의 패밀리 즉시 요청 된 속성을 갖도록 “>
보장 하는 것은 소위 피타고라스 삼각형입니다. -모든 변의 길이가 정수인 오른쪽 삼각형입니다.
피타고라스 삼각형의 변의 길이가 전체라는 것에 동의합시다. 순 양수, 숫자 a, b, c는 다음과 같습니다.
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
또한 세 가지 모두 정수 a, b, c는 coprime이고 해당 Pythagorean Triangle은 primitive 라고합니다. 잠시 동안 이러한 원시 삼각형 a\_0을 찾았다 고 가정하겠습니다. , b\_0, c\_0.
( 1 )의 관계에는 다른 자유 부동 항이 없기 때문에 모든 숫자를 스케일링하여 동일한 양의 정수 k에 의한 원시 피타고라스 삼각형 :
\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}
우리는 다음과 같은 새로운 삼각형을 얻을 것입니다 :
- 또한 피타고라스
- 더 이상 원시가 아닙니다 (k> 1의 경우)
li>
- 부모 원형 피타고라스 삼각형 a\_0, b\_0, c\_0과 유사
- 부모 원형 피타고라스 삼각형 a\_0, b\_0, c\_0보다 큽니다
다음은 다음과 같습니다. (단일) 주어진 원시 피타고라스 삼각형에 의해 생성 된 비 원시 피타고라스 삼각형이 무한히 많이 존재합니다. 주어진 원시 피타고라스 삼각형은 변의 길이를 더 이상 줄일 수 없기 때문에 해당 패밀리에서 가장 작습니다. 두 개의 별개의 원시 피타고라스 삼각형이 비슷하지 않습니다.
우리는 일반적으로 수학적 진술을 헛되이 던지지 않는다는 사실을 관찰합니다. 우리는 그것들을 바로 그 자리에서 증명하지만이 대답의 초점은 증명이 아니기 때문입니다. 위의 속성을 지금은 믿음에 따라 사실로 간주합니다 (관심이있는 경우 관련 증명을 별도로 요청).
따라서 전통적으로 프리미티브 피타고라스 삼각형은 다른 모든 피타고라스 삼각형이 위에서 설명한대로 해당 원시 삼각형에서 생성 될 수 있기 때문입니다.
연습으로이를 보여줄 수 있습니다. ( 1 ) 솔루션의 완전한 매개 변수화는 다음과 같이 제공됩니다.
a = m ^ 2-n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
여기서 m과 n은 모두 쌍입니다. m> n과 반대 패리티의 코 프라임 정수의. 반대 패리티 비트는이 숫자 중 하나가 실제로는 중요하지 않고 홀수 여야하고 다른 하나는 짝수 여야 함을 의미합니다.
다시 한 번, 관심이 있으시면 ( 2 ) 어디에서 왔는지에 대해 별도의 질문을하십시오. 우리는 기꺼이 다음을 공제 할 것입니다. 이 사실은 너무 많은 기술 정보로 현재 답변을 오염시키지 않기 위해 대역 외입니다.
( 2 <솔루션의 대안 매개 변수화가 있습니다. / span>) 여기도 생략합니다.
이제, 변 a와 b, 빗변 c, inradius r이있는 임의의 직각 삼각형을 고려하십시오 (그림 1) :
그림 1에 표시된 파란색 방정식에 녹색 방정식을 추가하고 x + y에 회색 방정식을 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다.
c + 2r = a + b \ tag * {}
여기서 :
r = \ dfrac {a + b-c} {2} \ tag {3}
이제 위의 오른쪽이 t 삼각형은 원시 피타고라스 삼각형입니다. ( 2 )에서 a, b 및 c의 값을 가져 와서 ( 3 ) 그러면 다음과 같이됩니다.
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn-m ^ 2-n ^ 2} {2} \ tag * {}
여기서 m ^ 2는 취소되고 n ^ 2는 두 배가됩니다.
r = \ dfrac {2mn-2n ^ 2} {2} \ tag * {}
위의 분모에서 2n을 빼 내면 다음과 같이됩니다.
r = \ dfrac {2n (m-n)} {2} \ tag * {}
즉,
r = n (mn) \ tag {4}
any 원시 피타고라스 삼각형 내부 반경의 길이는 정수입니다 (m> n 제약 조건을 잊지 마세요. ( 2 ) 참조). 두 정수는 항상 정수이고 두 정수의 곱은 항상 정수입니다.
다음으로, 원시가 아닌 k- 삼각형을 고려하십시오. 즉, 모든 변의 길이가 피타고라스 삼각형을 고려하십시오. 엄격하게 양의 정수로 균일하게 확장 k> 1. 이러한 길이는 방정식 ( 3 )에 엄밀히 선형 항으로 입력되기 때문에 해당 반경의 길이를 구하려면 곱하기 만하면됩니다. k 별 ( 4 )의 RHS :
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
따라서 어느 쪽이든 피타고라스 삼각형의 내경 길이는 항상 정수입니다. div id = “089645d8c0″>
5 )는 항상 그렇습니다. 두 정수의 차이는 항상 정수이고 두 정수의 곱은 항상 정수입니다.
방정식 ( 5 )은 오른쪽에서 왼쪽으로 읽을 수 있습니다. 즉, 정수 k, m, n을 입력으로 취한 다음 ( 5 )를 사용하여 적분 반경을 출력으로 생성 할 수 있습니다.
이제 반대 방향으로 이동해 보겠습니다. 반경의 길이에 대해 주문할 수 있는지 그리고 그 정보를 기반으로 해당 피타고라스 삼각형의 길이를 복구 할 수 있는지 살펴 보겠습니다.
분명히 Pythagoras 자신은 수년 전에 ( 부분 매개 변수화를 생성했습니다. > 1 ) 짧은 변의 길이가 연속 된 홀수 자연수 a = 2n + 1을 형성하는 피타고라스 삼각형을 연구하여 관련 숫자가 전체로 유지되도록합니다.
이 경우 수수께끼의 피타고라스 삼각형의 변 b의 길이와 빗변 c의 길이는 1만큼 달라야합니다. c = b + 1 따라서 ( 1 ) 우리는 다음을 가지고 있습니다 :
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
위의 괄호 열기 :
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
b ^ 2s와 1이 상쇄되는 것을 볼 수 있습니다.
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}
즉,
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
이 값을 다시 ( 3 ) , 우리는 다음을 발견했습니다.
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n-2n ^ 2-2n-1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
좋지 않나요?
그러므로 정렬 참조입니다.
즉, 임의의 자연수 n> 0을 제공하면 요청한 속성을 정확히 가진 피타고라스 삼각형을 생성 할 수 있습니다.
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
위의 수식 군은 삼각형 내부 반경의 정수 길이와 변의 정수 길이를 열거 함을 의미합니다. 자연수 집합을 통해 \ mathbb {N}.
또한 C 프로그래밍 언어를 매체로 미리 컴퓨터 프로그램을 작성할 수 있습니다. 요청에 따라 요청 된 삼각형을 생성합니다.
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i < argc; i++ )
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
위 코드를 ptr.c 파일에 저장했다고 가정하고 다음과 같이 빌드합니다.
gcc -g - o ptr ptr.c
다음과 같이 실행하십시오.
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
저렴한 스릴을 위해 극적으로 길이 365의 빗변을 포함했습니다.
우리 프로그램은 명령 프롬프트에서 많은 자연수를 받아들이고 각 n에 대해 피타고라스를 생성합니다.삼각형의 안쪽 반경 길이가 입력 자연수 n과 같음을 보장하는 변의 길이를 삼각형으로 만듭니다.
출력 형식은 다음과 같습니다. 첫 번째 열은 반경 n의 값을, 두 번째 열은 열은 a의 값을, 세 번째 열은 b의 값을, 네 번째 열은 c의 값을 나타냅니다.
또한 영역 S of our Pythagorean Triangles :
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
또한 다음의 값을 삽입하기 때문에 정수가됩니다. a와 b가 ( 2 )에서 ( 9 )로 바뀌면 다음을 찾습니다.
S = \ dfrac {\ left (m ^ 2-n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2-n ^ 2 \ right) mn \ tag * {}
항상 정수입니다.
마지막으로 임의의 읽기- 정답이 아닌 상황은 삼각형이 더 섬세합니다.
이러한 삼각형을 틈이없고 겹치지 않고 꽉 조인 세 개의 작은 삼각형으로 분할하면 아래와 같이 (그림.2) :
그런 다음,이 경우 전체가 영역 S에 대한 부분의 합과 같기 때문입니다. 이러한 삼각형의 경우 :
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
즉,
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
P 삼각형의 완전한 둘레이고 p는 삼각형의 반 둘레 입니다.
다음은 inradius r의 값에 대해 다음과 같습니다.
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
따라서 r이 정수이면 P는 2S를 정수로 나누거나 P는 S를 정수로 나눕니다.
인수를 위해 planar non 모든 변이 정수이고 면적이 정수인 직각 삼각형 Diophantine .
이제 (복합) Diophantine 삼각형이 있습니다. 그래서 :
- 그들은 compo 두 개의 피타고라스 삼각형이 하나의 공통 측면을 따라 있고
- 내부 길이는 정수가 아닙니다
증명 : 5, 5, 6 복합 디오 판틴 삼각형의 면적, b = 4 변을 따라 2 개의 3,4,5 피타고라스 삼각형으로 구성된이 삼각형은 12이고 반 둘레 길이는 8입니다. 그러나 8은 12를 정수로 나누지 않습니다. \ blacksquare
저기 다음과 같은 디오 판틴 삼각형이 존재합니다 (복합) :
- 두 개의 피타고라스 삼각형이 하나의 공통 변과
- 반지름 길이 는 정수
증명 : 13,14의 면적, 두 개의 피타고라스 삼각형 5,12,14 및 9,12,15로 구성된 15 복합 디오 판틴 삼각형은 b = 12면을 따라 84와 같고 반 둘레는 42와 같습니다. 그러나 42는 정수 나누기 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
다음과 같은 디오 판틴 삼각형이 존재합니다.
- 두 개의 피타고라스 삼각형으로 구성 될 수 없지만
- 반지름의 길이는 정수입니다.
증명 : 65,119,180 삼각형의 면적은 1638과 같고 반 둘레는 182입니다. 그러나 182는 정수 나누기 1638 : 182 \ cdot 9 = 1638입니다.
후보 직각 삼각형에서 측면 a와 b에서 면적 2S의 두 배는 a와 b의 곱과 같습니다. ( 9 ) 참조 : 2S = a \ cdot b. 따라서 숫자 a와 b는 모두 2S를 나눠야합니다.
이것이 우리 삼각형의 경우인가요?
아니요.
삼각형은 1638 \ cdot 2와 같은 크기를 나눕니다.
이유 : 1638 \ cdot 2의 소인수 분해는 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 :
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
삼각형 변 길이의 소인수 분해는 다음과 같습니다. :
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
따라서 삼각형의 높이가없는 길이는 전체 (자연) 숫자로 표현할 수 있으므로 이러한 디오 판틴 삼각형은 목표 삼각형의 높이 역할을해야하는 공통 측면을 따라 두 개의 피타고라스 삼각형으로 구성됩니다. \ blacksquare
우리는 Diophantine 삼각형의 내경 길이에 대한 포괄적 인 진술을하기 위해 상황에 대한보다 신중한 분석을 수행해야하며 가능한 한 합리적 삼각형 .
토론을 너무 복잡하게 만들지 않았 으면합니다.하지만 그것이 바로 기본 수 이론입니다.