Als je een 1×2-matrix vermenigvuldigt met een 2×1-matrix, wat zijn dan de afmetingen van de resulterende matrix?


Beste antwoord

1×1

Uitleg: Stel dat , 1e matrix heeft afmeting a * b en 2e matrix heeft afmeting c * d (a & c komen overeen met rij en b & d komen overeen met kolom).

Matrixvermenigvuldiging tussen de twee matrices is alleen mogelijk als b = c en de resulterende matrix zal de grootte a * d hebben.

Hier a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. als b = c kunnen we dan vermenigvuldigen en de resulterende matrix heeft de grootte a * d (1 * 1)

Antwoord

De willekeurige twee bij twee matrix is ​​

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

Het kan een vermenigvuldigende inverse A ^ {- 1} hebben met de eigenschap AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, de identiteitsmatrix, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.

Laten we de inverse zoeken, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}

AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}

We hebben twee scheidbare twee bij twee lineaire systemen,

ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1

Laten we de eerste doen, oplossen voor x en z.

adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0

(ad-bc) x = d

x = \ dfrac {d} {ad-bc}

acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0

z = \ dfrac {-c} {ad-bc}

Van het andere systeem we krijgen

ady + bdw = 0, bcy + bdw = b

y = \ dfrac {-b} {ad-bc}

en vergelijkbaar

z = \ dfrac {a} {ad-bc}

Alles bij elkaar eh zien we

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

De hoeveelheid | A | = \ det (A) = ad-bc wordt de determinant genoemd. Het is precies niet nul als de matrix een inverse heeft. De determinant is multiplicatief – de determinant van het product van twee vierkante matrices is het product van hun determinanten.

De matrix \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} heet de adjugate aangegeven met \ textrm {adj} (A).

Laten we eens kijken of A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Ik, de matrix die helemaal nul is, behalve de determinant langs de diagonalen.

A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( EEN) \; I \ quad \ checkmark

Het antwoord op de vraag is: als de noemer niet nul is,

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

is de matrix die we vermenigvuldigen met

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

om de identiteit te krijgen.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *