Beste antwoord
1×1
Uitleg: Stel dat , 1e matrix heeft afmeting a * b en 2e matrix heeft afmeting c * d (a & c komen overeen met rij en b & d komen overeen met kolom).
Matrixvermenigvuldiging tussen de twee matrices is alleen mogelijk als b = c en de resulterende matrix zal de grootte a * d hebben.
Hier a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. als b = c kunnen we dan vermenigvuldigen en de resulterende matrix heeft de grootte a * d (1 * 1)
Antwoord
De willekeurige twee bij twee matrix is
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
Het kan een vermenigvuldigende inverse A ^ {- 1} hebben met de eigenschap AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, de identiteitsmatrix, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
Laten we de inverse zoeken, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
We hebben twee scheidbare twee bij twee lineaire systemen,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
Laten we de eerste doen, oplossen voor x en z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Van het andere systeem we krijgen
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
en vergelijkbaar
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Alles bij elkaar eh zien we
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
De hoeveelheid | A | = \ det (A) = ad-bc wordt de determinant genoemd. Het is precies niet nul als de matrix een inverse heeft. De determinant is multiplicatief – de determinant van het product van twee vierkante matrices is het product van hun determinanten.
De matrix \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} heet de adjugate aangegeven met \ textrm {adj} (A).
Laten we eens kijken of A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Ik, de matrix die helemaal nul is, behalve de determinant langs de diagonalen.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( EEN) \; I \ quad \ checkmark
Het antwoord op de vraag is: als de noemer niet nul is,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
is de matrix die we vermenigvuldigen met
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
om de identiteit te krijgen.