Beste antwoord
Zeg, 2 ^ 32 + 1 is deelbaar door m.
Dus 2 ^ 32 = -1 (mod m)
(2 ^ 32) ^ 3 = (- 1) ^ 3 ( mod m)
2 ^ 96 = -1 (mod m)
2 ^ 96 + 1 = 0 (mod m)
Dus, het juiste antwoord is 2 ^ 96 + 1
Antwoord
Dat doet u niet. Kijk bijvoorbeeld wat er gebeurt als x = 12. Je krijgt x ^ 2 = 144 = 24 \ cdot 6 maar x is niet deelbaar door 24.
Ik zou hier kunnen stoppen, maar dat zou niet leerzaam zijn , behalve om te zeggen dat je het mis hebt Dat is niet echt nuttig.
Ik kan tenslotte bewijzen dat als k | x ^ 2 (lees dat als “k deelt x ^ 2), dan k | x voor veel k, inclusief 21, 22, 23, 26, 29 en 30, maar niet voor 20, 24, 25, 27 of 28. Wat is het verschil? Dat is waar dingen interessant en leerzaam worden.
Wat weten we over x? We weten door de Fundamentele Stelling van de Rekenkunde dat x uniek kan worden weergegeven als een product van priemgetallen, x = 2 ^ {a\_2} 3 ^ {a\_3} 5 ^ {a\_5} \ cdots. Elk (of alle, voor x = 1) van die a\_p-waarden kunnen 0 zijn, en in feite is slechts een eindig aantal niet-nul.
Dat betekent dat x ^ 2 = 2 ^ { 2a\_2} 3 ^ {2a\_3} 5 ^ {2a\_5} \ cdots. Alle exponenten zijn nu even.
Wat weten we over k? Volgens dezelfde stelling weten we dat k = 2 ^ {k\_2} 3 ^ {k\_3} 5 ^ {k\_5} \ cdots.
Hoe verhoudt dit zich tot deelbaarheid? Als k | x ^ 2, dat betekent dat k\_2 \ leq 2a\_2, k\_3 \ leq 2a\_3, \ dots, k\_p \ leq 2a\_p, \ dots. Als k | x, dat betekent dat k\_2 \ leq a\_2, k\_3 \ leq a\_3, \ dots, k\_p \ leq a\_p.
Dus alles wat we echt hoeven te doen om te bewijzen of x ^ 2 deelbaar is door k, dan x deelbaar is door k is laten zien dat als k\_p \ leq 2a\_p, dan k\_p \ leq a\_p. Aangezien k\_p, a\_p elk niet-negatief geheel getal kan zijn, kunnen we naar het eenvoudigere probleem kijken: onder welke omstandigheden hebben we b \ leq 2c die b \ leq c impliceert?
In feite proberen we waarden te vinden van b waar de uitdrukking c \ leq 2c voor geen enkele c geldt. Omdat er geen c is, werkt b = 0. Voor b = 1 worden we gedwongen om c = 0 te hebben, en dus 1 \ not \ leq 2c = 0, dus b = 1 werkt.
Maar voor b> 1 is dat niet het geval werk. Je kunt altijd c = b-1
Om dit terug te brengen naar ons probleem, betekent dit dat we k | kunnen zeggen x ^ 2 \ impliceert k | x alleen als de exponenten van priemgetallen in k 0 of 1 zijn. Deze waarden van k worden “kwadraatvrij” genoemd omdat je ze niet kunt delen door een kwadraatgetal.
Dus je kunt k laten zien | x ^ 2 \ impliceert k | x als k kwadraatvrij is.
Voor de getallen die ik hierboven bekeek, is 20 deelbaar door kwadraat 4, 24 deelbaar door kwadraat 4, 25 is kwadraat, 27 is deelbaar door kwadraat 9 28 is deelbaar door het vierkant 4. De andere cijfers, 21, 22, 23, 26, 29, 30, zijn allemaal vierkant-vrij, wat je kunt controleren als je wilt.