Beste antwoord
Ja.
Het ligt buiten de driehoek.
H is het orthocentrum van \ Delta ABC.
Merk ook op dat \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Antwoord
Hoe vind je het circumcenter en orthocenter van een stompe hoekige driehoek die buiten de driehoek ligt?
Een manier om het circumcenter en orthocenter te bepalen voor elke driehoek, stomp of niet, is door vectoren en matrices te gebruiken.
Intro:
Het is een beetje ingewikkeld, dus er zal geen elke spatie om de berekeningen weer te geven.
Laten we zeggen dat we een driehoek hebben met hoekpunten A, B en C en dat de lengtes van hun tegenoverliggende zijden respectievelijk a, b en c zijn.
We definiëren drie vectoren: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) en \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Nu, zonde ce-vectoren zijn matrices, we kunnen een matrixindeling gebruiken waarbij een T na een vector betekent dat deze is getransponeerd. Dus \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2}, en \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Dit zijn eigenlijk puntproducten.
Om verwarring te voorkomen, gebruik ik ook de notatie \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2}, en \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Dus u \ equiv c, v \ equiv b , en w \ equiv a. Ik zal ook een hoed gebruiken om een eenheidsvector voor te stellen, die gewoon een vector is die is gedeeld door zijn eigen lengte en dus een lengte heeft van 1. Bijvoorbeeld, \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Transformatiematrix:
We definiëren nu een transformatiematrix. Als u in 2-dimensies werkt, is dit een 2×2-matrix en als u in 3-dimensies werkt, is het een 3×3-matrix. Merk op dat \ theta\_ {A} de hoek is tussen \ vec {u} en \ vec {v}, wat de hoek is bij hoekpunt A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
We gebruiken de transformatiematrix om een andere vector te definiëren.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Formules:
Laat H het orthocentrum zijn, dat is het punt waar alle drie de hoogtes van een driehoek elkaar kruisen. Een hoogte loopt vanaf elk hoekpunt op een lijn die loodrecht staat op het andere been.
Laat Q de circumcenter zijn, het punt waar de middelloodlijnen van alle drie de zijden van een driehoek elkaar snijden. Het is het middelpunt van de omgeschreven cirkel, een cirkel die alle drie de hoekpunten van een driehoek omvat.
Nu, met wat werk, kan nu worden afgeleid dat
\ quad \ begin {array} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Door de hoekpunten van de genoemde driehoek als vectoren te gebruiken, kunnen we deze omzetten in symmetrische formules.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Merk op dat er geen vierkantswortels en geen trigonometrie zijn e nodig om de twee centra te vinden.