Beste antwoord
Een regelmatige vijfhoek vertoont geen mozaïek.
Om een regelmatige veelhoek hoekpunt-tot-hoekpunt te laten vormen, moet het interieur hoek van uw veelhoek moet 360 graden gelijkmatig worden verdeeld. Aangezien 108 360 niet gelijkmatig verdeelt, vormt de regelmatige vijfhoek niet zo een mozaïek.
Proberen om een van de hoekpunten ergens op een rand te plaatsen in plaats van op het hoekpunt werkt om vergelijkbare redenen niet. komen niet overeen.
Er zijn echter tal van vijfhoeken die wel tesselleren, zoals het onderstaande voorbeeld, dat hoekpunt-tot-hoek tegelt. U kunt zien dat de hoeken van alle polygonen rond een enkel hoekpunt 360 graden bedragen.
Het controleren van de hoekvoorwaarde is niet de enige vereiste voorwaarde om te zien of polygonen mozaïekpatroon, maar het is heel gemakkelijk te controleren.
Antwoord
Slechts drie regelmatige veelhoeken mozaïekpatroon: gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en regelmatige zeshoeken.
Geen enkele andere regelmatige polygoon kan tesselleren vanwege de hoeken van de hoeken van de polygonen. Om een vlak te tesselleren, moet een geheel aantal vlakken elkaar kunnen ontmoeten op een punt. Voor regelmatige polygonen betekent dit dat de hoek van de hoeken van de polygoon 360 graden moet delen. Bovendien moet voor alle convexe polygonen de som van de buitenhoeken 360 graden bedragen, en voor regelmatige polygonen betekent dit dat de buitenhoeken gelijk moeten zijn, en opgeteld 360 graden. Dit betekent dat de binnenhoek van een gewone n-gon 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n is. Het aantal normale n-gons dat om een hoek past, is daarom \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}, en is alleen mogelijk als dat een geheel getal is .
Gelijkzijdige driehoeken hebben 3 zijden, dus je kunt \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 gelijkzijdige driehoeken rond een punt plaatsen. Een mozaïekpatroon is niet uitgesloten.
Vierkanten hebben 4 zijden, dus je kunt \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 vierkanten rond een punt plaatsen. Een mozaïekpatroon is niet uitgesloten.
Pentagons hebben 5 zijden, dus je kunt \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pentagons rond een punt plaatsen. Dit is geen geheel getal, dus mozaïekpatroon is onmogelijk.
Zeshoeken hebben 6 zijden, dus je kunt \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 zeshoeken passen. Tessellation is niet uitgesloten.
Maar meer kanten dan dat? Nou, het is niet mogelijk. Merk op dat \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2}, en dat 2 < \ frac {2n} {n-2}, dus voor n> 6 heb je 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, dus voor regelmatige heptagons, octagons, nonagons, etc, je zou er geen geheel getal van kunnen passen rond een punt.
Dit betekent niet dat er geen vijfhoeken, heptagons, octagons, etc. zijn die tessellate, alleen geen regelmatige vijfhoeken, regelmatige zevenhoeken of regelmatige achthoeken, enz.