Beste antwoord
Gavin Song heeft je al een goed antwoord gegeven, maar ik zal mijn best doen om je een alternatief te bieden manier om met Calculus naar dit probleem te kijken.
Feit: elke 2D-ellips kan worden geparametriseerd als
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Waarbij 0 \ leq t \ leq 2 \ pi en a en b de halve mineur en halve majeur zijn assen (ook bekend als de verticale en horizontale stralen).
Stel dat een punt een verandering heeft in de x-as en een ander in de y-as, zeg \ Delta y en \ Delta x. Als we de stelling van Pythagoras gebruiken, weten we dat de lengte tussen de begin- en eindpositie van het punt wordt gegeven door (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Simpel toch?
Pas nu die logica toe op de geparametriseerde ellips. Om de omtrek van de ellips te benaderen, zouden we een punt op de ellips kunnen “volgen” langs verschillende stappen in t, de lengte tussen de locaties op elk interval meten en ze aan het einde optellen. Als u dit zelf probeert, zult u merken dat de meting steeds nauwkeuriger wordt als we rekening houden met kleinere en kleinere intervallen. Dus om de ware omtrek te krijgen, zouden we dit proces kunnen uitvoeren voor oneindig kleine intervallen, die oneindig kleine veranderingen in x en y zouden geven, zeg maar dx en dy. Dit komt overeen met het evalueren van de volgende integraal:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Laat de omtrek worden uitgedrukt als l. Als we de parametrisering van eerder gebruiken, kunnen we dit uitdrukken als
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Er zit echter een addertje onder het gras. Deze integraal heeft geen symbolische oplossing, tenzij a = b (wat ons op elegante wijze de formule geeft voor de omtrek van een cirkel), dus onze enige optie is om numerieke methoden te gebruiken om een goede benadering te krijgen. Dit kan interessant of teleurstellend voor je zijn, maar ik hoop dat het hoe dan ook heeft geholpen.
🙂
Antwoord
Als je geduld met me wilt, zal ik het doen beschouw deze vraag andersom.
Stel dat een cirkel en een ellips gelijke oppervlakken hebben.
Mijn vraag is “Hebben ze dezelfde omtrek?”
(Merk op dat wanneer a = b = r de formule hetzelfde is als de oppervlakte van de cirkel.)
De omtrek van een cirkel is 2πr
De omtrek van een ellips is erg moeilijk te berekenen!
Mensen hebben geprobeerd formules om de omtrek van een ellips te vinden, maar de meeste pogingen zijn slechts benaderingen.
Sommige methoden omvatten zelfs het optellen van oneindige reeksen!
De beroemde Indiase wiskundige Ramanujan werkte een zeer goede formule uit die is vrij nauwkeurig.
Merk op dat als a = b = r de ellips een cirkel wordt en de bovenstaande formule verandert in de formule voor de omtrek van de cirkel C = 2πr .
Als we dit in zijn formule vervangen, krijgen we:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Laten we eens kijken naar een specifiek voorbeeld waarbij de cirkel een straal heeft van 6 cm en een ellips heeft een hoofdas van 9 cm en een secundaire as 4 cm.
Oppervlakte van cirkel = π × 6 × 6 = 36π vierkante cm
Oppervlakte van ellipse = π × 9 × 4 = 36π vierkante cm
———————————————— ——————————
De omtrek van de cirkel = 2πr = 12π cm
De omtrek van de ellips met de formule van Ramanujan is:
————————————————————————————————— ————
Conclusie, als de cirkel en de ellips dezelfde oppervlakte hebben, heeft de ellips een groter omtrek dan de cirkel .