Beste antwoord
Dat is geen rotatie voor 45 ^ o. Dat is de transformatie om een vector te roteren in \ mathbb {R} ^ 2 door een hoek \ theta. Je kunt de formule als volgt afleiden:
Laat de vector \ mathbf {V} geroteerd worden met een hoek \ theta onder enige transformatie om de nieuwe vector \ mathbf {V “} te krijgen.
Laat r = | \ mathbf {V} |. Dan hebben we de relaties:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x “= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y” = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Vanwaar heb je de relaties:
v\_x “= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y “= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Dit wordt weergegeven in matrixvorm als
\ begin {pmatrix} v\_x” \\ v\_y “\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Antwoord
Er zijn verschillende manieren om dit probleem aan te pakken.
De eerste is om simpelweg Euler “s rotatie aan te roepen theorema, waarin staat dat elk eindig aantal rotaties rond een enkel vast punt (maar rond willekeurige assen in nd imensions) kan worden uitgedrukt als een enkele rotatie van hoek \ theta rond een as \ hat {n}.
Als we accepteren dat elke rotatie wordt weergegeven door een matrix, en dat de methode om een vector te roteren is matrixvermenigvuldiging, dan volgt hier direct uit dat het product van rotatiematrices A\_1 A\_2 … A\_n ook een rotatiematrix moet zijn – anders hebben we de rotatiestelling van Euler geschonden.
De vraag is natuurlijk hoe je deze stelling eigenlijk bewijst .
Eulers oorspronkelijke werk is … grof. Het omvat heel veel driehoeken die op het oppervlak van bollen zijn getekend (dwz niet-Euclidische driehoeken).
Als je zin hebt om te volgen het bewijs tot het einde, de wikipedia-pagina die eerder is gelinkt, lijkt redelijk goed werk te leveren.
Een alternatieve methode (of, equivalent, een secundaire manier om de stelling van Euler te bewijzen, denk ik), is om rechtstreeks gebruik de eigenschappen van rotatiematrices, met een kleine excursie naar de groepstheorie.
Een rotatie is wiskundig gezien elke bewerking waarbij de afstanden tussen alle punten in de ruimte constant blijven, en waarbij een punt overblijft, of een reeks punten, vast (ervan uitgaande dat we ons op een eenvoudige Euclidische ruimte bevinden), naast het behouden van de oriëntatiestructuur van het object.
In groepstheoretische taal noemen we deze bewerkingen (op Euclidische ruimte ) de “Speciale orthogonale groep in n dimensies”, of SO (n) in het kort.
De matrices A die leden zijn van SO (n) worden gedefinieerd door de volgende twee eigenschappen:
- A ^ TA = 1\_n (het orthogonale bit)
- \ text {det} (A) = 1 (het speciale bit)
Dat wil zeggen rotatiematrices zijn orthogonale matrices met determinant één. Hier is 1\_n de identiteitsmatrix in n dimensies.
De voorwaarde “orthogonaliteit” is de voorwaarde die ervoor zorgt dat afstanden behouden blijven, aangezien we in de Euclidische ruimte de lengte d van een vector \ mathbf {v} hebben, zijnde:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Als we deze vector roteren, zodat \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, met A een orthogonale vector, dan, door de eigenschappen van matrixvermenigvuldiging:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Vandaar dat de afstand d werd niet beïnvloed door de rotatie.
Alle orthogonale matrices hebben determinant \ pm 1, maar die met een negatieve determinant bevatten ook een spiegel-flip reflectie rond een as. Aangezien we pure rotaties willen, geen reflecties, om de oriëntatie van objecten in onze ruimte te behouden, beperken we ons daarom tot degenen met positieve determinanten – en daar komt het “speciale” bit vandaan.
Het feit dat ik heb vermeld dat deze structuren een groep vormen (met de bijbehorende bewerking matrixvermenigvuldiging) is in feite voldoende om te concluderen dat het product van meerdere rotatiematrices in feite ook een rotatie is, aangezien groepen worden gedefinieerd als c verloren onder de groepsbewerking .
Dit betekent dat twee willekeurige elementen g\_1 en g\_2 in een groep G, met groepsbewerking g\_1 \ bullet g\_2 moet een derde element teruggeven, g\_3, dat ook een lid is van groep G. Als A en B rotatiematrices zijn, volgt dit uit de definitie van een groep dat A \ bullet B = AB ook een rotatiematrix is.
Natuurlijk… dit is een uitweg voor bedrog. Om te zeggen dat SO (n) een groep was, moet ik bewijzen dat dit waar was! Het kan ook expliciet worden getoond aan de hand van de volgende algemene eigenschappen van de transpositie en determinant:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
We construeren daarom een matrix C = AB, waarbij A en Bare leden van SO (n) .
We beschouwen dan:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Aangezien A ^ TA = 1\_n en B ^ TB = 1\_n, en de associativiteit van matrixvermenigvuldiging.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ times 1 = 1
We zien dus dat C een orthogonale matrix is, met bepalende factor één – dwz het is een lid van SO (n), en dus een rotatiematrix.
We hebben daarom bewezen dat SO (n) (en inderdaad O (n)) een groep vormt die gesloten onder matrixvermenigvuldiging, en daarom is de aaneenschakeling van meerdere rotaties op zichzelf een rotatie.
We hebben daarom de rotatiestelling van Euler bewezen.