Beste antwoord
te berekenen Twee hoeveelheden bevinden zich in de gulden snede als hun verhouding is hetzelfde als de verhouding van hun som tot de grootste van de twee grootheden.
Als we a en b (b> a) twee grootheden in de gulden snede laten zijn,
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
De kwadratische formule laat zien dat,
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ approx 1.618 \ tag * {}
(De andere oplossing geeft \ frac {a} {b} of \ varphi ^ {- 1} )
Zoals anderen al hebben vermeld, benadert de verhouding tussen twee opeenvolgende Fibonacci-getallen ook \ varphi.
In feite voor elke reeks die voldoet aan de herhalingsrelatie (met zaadwaarden A\_0, A\_1 niet beide 0 omdat dat een constante reeks zou worden ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
De limiet van \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} als n \ tot 0 \ varphi nadert .
Dit kan worden bewezen door L de limiet te laten zijn,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
Met behulp van de herhaling,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limit\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
Nogmaals door te vermenigvuldigen door L en met behulp van de kwadratische formule kun je aantonen dat
L = \ varphi \ tag * {}
Antwoord
Constructie met kompas en liniaal
Scott Beach heeft een manier ontwikkeld om deze berekening van phi in een geometrische constructie weer te geven:
Zoals Scott deelt op zijn website: Triangle ABC is a right tria ngle, waarbij de maat van hoek BAC 90 graden is. De lengte van zijde AB is 1 en de lengte van zijde AC is 2. De stelling van Pythagoras kan worden gebruikt om te bepalen dat de lengte van zijde BC de vierkantswortel is van 5. Zijde BC kan worden verlengd met 1 lengte-eenheid om het punt vast te stellen. D. Lijnstuk DC kan vervolgens worden doorgesneden (gedeeld door 2) om punt E vast te stellen. De lengte van lijnstuk EC is gelijk aan Phi (1.618…).
Phi nomenaal!
Bron: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/