Beste antwoord
Er zijn een paar manieren om een kwadratische vergelijking op te lossen. U kunt de functie Add-In solver gebruiken. Ik ben niet zo bekend met hoe dat werkt, maar het is een suggestie voor jou.
Andere manieren waarmee ik bekend ben, is het maken van een tabel of het tekenen ervan.
Stel dat we de eenvoudige vergelijking: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Nu weten we dat als we dit weglaten we (x + 5) (x + 2) = 0 krijgen, dit betekent x = -2, -5. Maar tegelijkertijd kunnen we dit gebruiken als richtlijn om te zien hoe we onze oplossing in Excel kunnen controleren.
Het eerste dat we kunnen doen, is een Excel-tabel maken. Wat ik graag doe, is een Excel-tabel opzetten. Ik heb de x-waarden in het linkerbereik van -50 tot 50. Daarna kan ik de vergelijking gewoon als zodanig aansluiten:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
of
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] is in feite de celverwijzing voor de x-waarden in de kolom (ik zal u binnenkort een afbeelding geven van hoe dit werkt).
Als je kijkt naar de vergelijking die we eerder kregen, 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Dit betekent dat we y = 0 instellen (omdat de hele vergelijking is y). Dit betekent dat we in termen van de Excel-tabel moeten zoeken naar x-waarden aan de linkerkant met een 0 naast de zoom in de kolom y. Observeer hieronder:
Als u opmerkt, hebben we twee waarden met een nul ernaast, de -2 en -5. Dit zijn de oplossingen van de vergelijking.
Een ander voorbeeld zou zijn om je vergelijking in een grafiek te zetten. Hier kunnen we onze Excel-tabel gebruiken als de seriegegevens om de punten uit te zetten.
Het uitzetten van de punten in de grafiek maakt het niet meteen duidelijk. Het kan dus zijn dat u het minimum en maximum van assen moet aanpassen. In mijn grafiek heb ik de x-as aangepast zodat ze variëren van -10 tot 5, en de y-as van -10 tot 10.
Als je het opmerkt, kruist de grafiek x = -2 en kruist hij x = -5. Dus we waren in staat om de vergelijking ook grafisch op te lossen.
Antwoord
Ik vat het hard op dat je ‘moeilijk te ontbinden’ bedoelt. Laten we eens kijken naar een algemene uitdrukking van ax ^ 2 + bx + c.
Om dit op te lossen, stellen we dit gelijk aan 0, en dus krijgen we ax ^ 2 + bx + c = 0. Vind x is jouw plicht.
God, het zou ECHT nuttig zijn als er een eenvoudige oplossing was die werkte voor algemene coëfficiënten. Gelukkig voor ons is dat zo, en het is enigszins gemakkelijk te vinden (probeer dit niet te doen met kubieke vergelijkingen of hoger, je kunt het proberen, maar het is ERG moeilijk te vinden op dit niveau).
We willen hier dus goed over nadenken. Wat is het probleem met het oplossen van x hier?
In een normale lineaire vergelijking, zoals ax + b = 0, is het gemakkelijk. x is een gebeurtenis. Het probleem met kwadraten is dat vervelende ax ^ 2 + bx-formaat, aangezien onze strategie om een constante af te trekken en te delen om x te krijgen niet werkt, we het moeten verminken en we kunnen niet gemakkelijk factoring gebruiken, omdat er zal altijd een x-tekort van één zijn als we proberen te factoriseren met x of x ^ 2.
Nou verdomme, wat doen we hier dan? We hebben een kwadraatdeel, dat moet betekenen dat we op de een of andere manier iets in het kwadraat moeten krijgen, zoals (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, waar we later als f een constante kunnen optellen die we gemakkelijk kunnen aftrekken zoals onze voorbeeld van een lineaire vergelijking. Het is duidelijk dat de? moet ergens een singulier x bevatten, maar we moeten ook een constante aan het x-deel toevoegen, omdat de distributieve eigenschap de constante met de x vermengt, en dat ook met x en zichzelf, en een constante, waardoor een singulier x, zonder exponent. We zullen dan in staat zijn om alle constanten die we aan de andere kant hebben vierkantswortels te maken en het dan op te lossen als een lineaire vergelijking.
Laten we dus in die positie komen.
Laten we wij delen onze oorspronkelijke vergelijking aan beide zijden door a, zodat ik een zuivere x ^ 2 kan krijgen en \ sqrt {a} niet als coëfficiënt hoef te gebruiken, wat ingewikkelder zal zijn.
We krijgen x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Oké, dus onze vorm van de? moet x + k zijn, aangezien er geen coëfficiënt van x kan zijn die er niet is, aangezien distributie geen ‘zuivere’ x ^ 2 zou opleveren. Wat is k dan? Welnu, laten we hier even nadenken – we willen op een manier forceren om hx = \ frac {b} {a} x te krijgen. Telkens wanneer ik iets vierkant maak, en er worden twee termen aan toegevoegd, moet ik distributie gebruiken om ‘stuksgewijs’ te gaan. Omdat als ik het kwadraat, ik deze hoeveelheid (de twee termen die worden opgeteld) vermenigvuldig met zichzelf, krijg ik zoals vermeld de x ^ 2 van de x-term, een constante van de k-term, maar ook kx door door k te gaan in de eerste hoeveelheid vermenigvuldigt de x in de tweede, en x en k andersom, maar ik tel deze op om 2kx te krijgen. [om dit te zien, schrijf (x + k) (x + k), verdeel om (x + k) x + (x + k) k. Verdeel het nu door de paden te tekenen om x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2 te krijgen, wat x ^ 2 + 2kx + k ^ 2] geeft
Dus, wat deze k ook is zullen we moeten hebben 2kx = \ frac {b} {a} x maar dat betekent k = \ frac {b} {2a}. Oké, NU komen we ergens.Denk aan het feit dat we kwadraten, sommige (x + k) ^ 2, en als ik deze get (x + k) (x + k) uitbreid, ga ik een pad van vermenigvuldiging door distributie volgen. Een van die paden die ik moet volgen is k maal k, maar we weten al wat k is, dus we moeten een constante hebben k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Dus laten we dat gewoon aan beide kanten toevoegen, wat we kunnen doen, aangezien dat constant is, en het maakt ons niet uit welke constante we aan de andere kant krijgen, we willen deze puinhoop gewoon goed in rekening brengen.
Dus we doen precies dat, en krijgen
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
En nu hebben we alle termen waarmee we dit in een (x + k) ^ 2 = constant formaat kunnen verdelen, precies wat we wilden! We hebben vastgesteld dat k \ frac {b} {2a} is, dus we laten dit buiten beschouwing.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Nu willen we deze puinhoop mooi maken, merk op dat we uiteindelijk naar vierkantswortel gaan als we de constanten aftrekken, en we hebben in één term een noemer van 4a ^ 2, die heel gemakkelijk vierkantswortel is. Laten we c / a hiermee compatibel maken, door het te vermenigvuldigen met 1, wat niets verandert, maar 1 = 4a / 4a. We hoeven ons geen zorgen te maken over a = 0, want als dat zo was, zouden we een lineaire vergelijking hebben, waarop we ons niet concentreren.
We krijgen dus (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Geweldig, dus trek nu de tweede term af, aangezien ze gemeenschappelijke noemers hebben, en we get
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
En de rechterkant is nu constant , we kunnen beide zijden gemakkelijk rooten!
We krijgen
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
Dit is niet helemaal correct, aangezien we ons moeten realiseren dat wanneer ik een vierkantswortel een positief getal d ^ 2, d kan positief of negatief zijn. Dus voor de goede orde voegen we een plus- of minteken toe, en we krijgen
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
En we kunnen nu die k aftrekken, aangezien we nu een lineaire vergelijking moeten oplossen, zoals we wilden, en we krijgen
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}