Beste antwoord
De “omtrek” van een gesloten vorm is simpelweg de som van de lengtes van al zijn grenzen. Een “sector” (van een cirkel) wordt begrensd door een boog en twee stralen, dus de omtrek is twee keer de straal (r) plus de lengte van de boog. De boog is een fractie van de omtrek van de cirkel, die twee pi maal de straal is.
Daarom hoeven we alleen maar de straal en de fractie van de omtrek (2 * pi * r) te weten door de boog. Die fractie is hetzelfde als de fractie van het gebied van de cirkel die de sector inneemt, wat hetzelfde is als de fractie die de centrale hoek uit 360 graden (of 2 pi radialen) haalt.
Als de centrale hoek hoek (op het punt van de sector) is “theta”, dan is de boog de omtrek (pi * 2 * r) maal de breuk gemaakt door theta-graden / 360-graden (of theta-radialen / 2-pi radialen) .
Als theta bijvoorbeeld 90 graden is, dan is de boog een kwart van de cirkel, met een lengte van: (1/4) * 2 * pi * r, dus de omtrek is die booglengte plus 2 * r (voor de zijden gevormd door stralen).
Als theta pi / 6 radialen (30 graden) is, dan is de lengte van de boog (30/360) * 2 * pi * r, dus de omtrek van de sector is = r * [2 + pi / 6].
Algemene formules voor de omtrek van een sector, met theta uitgedrukt in graden zouden zijn:
- [2 + (2 * pi) * theta (graden) / 360] * r
Als theta wordt uitgedrukt in radialen, wordt de formule:
- [2 + theta ( radialen)] * r
Antwoord
We willen de formule voor de omtrek van een segment van een cirkel.
Beschouw het segment ABC van een cirkel met middelpunt O met straal r.
Laten we \ angle AOB = \ theta.
\ Rightarrow \ qquad De lengte van boog ACB = r \ theta.
\ driehoek AOB is gelijkbenig.
\ Rightarrow \ qquad De projectie van zowel OA als OB op AB is r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).
\ Rightarrow \ qquad De lengte van het akkoord AB = 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ rechts).
De omtrek van segment ABC is de som van de lengte van de boog ACB en het akkoord AB.
\ Rightarrow \ qquad De omtrek van segment ABC = r \ theta + 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).