Beste antwoord
Hoe groot is het nummer van Rayo in vergelijking met het nummer van Graham? Het is groter. Veel groter. Het is zo ontworpen.
Graham “s nummer is enorm. Het is zo veel groter dan gewone grote getallen zoals een Googolplex dat begrijpen hoeveel groter het is behoorlijk verbijsterend kan zijn. Op het gebied van enorme getallen is Grahams Number echter niet uitzonderlijk. Er zijn hele reeksen getallen die zijn opgevat die even verbijsterend groter zijn dan Grahams Number als Grahams Number zelf groot is. Onthoud dat Grahams Number niet is bedacht om bijzonder groot te zijn; in feite ontstond het in een poging om een kleinste bovengrens voor een wiskundig probleem (en sindsdien zijn er veel kleinere bovengrenzen gevonden voor dit probleem!). Het enige dat speciaal was aan Grahams Number was dat op dat moment , was dit het grootste getal dat werd gebruikt in een significant wiskundig bewijs of afleiding.
Andere getallen die Grahams Number verlaten ver achter zijn sindsdien afgeleid of gebruikt in zinvolle bewijzen. Een voorbeeld is TREE (3) , maar er zijn ook veel andere.
Het getal van Rayo verschilt een beetje van al deze. Zie je, Rayos getal is speciaal ontworpen om een monsterlijk groot getal te zijn. Het is, vrijwel per definitie, groter dan al deze andere getallen die we hebben waarover we hebben gesproken. Het is zo veel omvangrijker dan alle daarvan dat we niet eens precies weten hoe groot het is: maar we kennen nogal wat verschrikkelijk grote aantallen waarvan we weten dat het groter moet zijn dan!
Het is duidelijk dat zelfs het getal van Rayo in geen enkel opzicht het grootste getal is. Zoiets bestaat niet. We kunnen er altijd een toevoegen aan een willekeurig getal en er een iets groter maken. We kunnen elk getal op eigen kracht verhogen en een behoorlijk wat groter. Maar Rayos getal wordt momenteel beschouwd als het grootste eindige getal waaraan iemand de moeite heeft genomen om een naam te geven (met uitzondering van triviale extensies, zoals Rayos-getal-plus-een en dergelijke).
Antwoord
Rayos nummer i is veel groter.
Ik zal uitleggen wat Rayos nummer is, dan zullen we begrijpen waarom het veel groter is dan dat van Graham.
Er is een oude paradox die ongeveer zo gaat: Laat N worden gedefinieerd als “Het kleinste positieve gehele getal dat niet in maximaal twaalf Engelse woorden kan worden gedefinieerd”.
Je zou kunnen vragen, wat is N?
Nou, wat N ook is, het is duidelijk definieerbaar in maximaal twaalf Engelse woorden, namelijk de woorden “The kleinste positieve integer niet definieerbaar in maximaal twaalf Engelse woorden”. Maar dat is in tegenspraak, want per definitie kan N niet worden gedefinieerd door twaalf Engelse woorden.
Paradox! SpoooOoOoOky!
De oplossing voor deze paradox, naast het feit dat Engels in het algemeen vaag is, is dat definieerbaar bijzonder slecht gedefinieerd is. Als welke getallen definieerbaar zijn, afhangt van het woord “definieerbaar” waarvan de betekenis afhangt van welke getallen definieerbaar zijn, krijg je een cirkelvormige definitie die niet kan worden opgelost.
Waarom heb ik deze paradox naar voren gebracht?
Rayos nummer kan worden gezien als een “formalisering” van het bovenstaande; het gebruikt wiskundige taal in plaats van Engels, en het maakt het begrip “definieerbaarheid” nauwkeurig. Rayo “s getal is
” Het kleinste positieve gehele getal groter dan elk eindig positief geheel getal genoemd door een uitdrukking in de taal van de eerste orde set theorie met een googol-symbool of minder. “
Eerste orde verzamelingenleer — hier, wat betekent” eerste orde logica op het domein van het Von Neumann universum , een model van Zermelo – Fraenkel verzamelingenleer ”—is een nauwkeurige wiskundige taal. Dit formele taal heeft de eigenschap dat het diezelfde zin niet circulair kan coderen en een paradox kan creëren. (Je kunt de ZFC-axiomas beschrijven in eerste orde logica, en zelfs een mechanisme beschrijven voor het evalueren van bewijzen enzovoort, maar jij kan in zichzelf geen Von Neumann-universum creëren.)
Dus, waarom is dit groter dan het getal van Graham?
Wel, Grahams getal is niet zo moeilijk te definiëren, je kunt lees de definitie op Wikipedia en het is volkomen elementair, in termen van up arr ow-notatie die wordt gedefinieerd door machtsverheffen. Je kunt het nummer van Graham zeker coderen met maximaal 10.000 symbolen. Ik ben hier conservatief. En het nummer van Graham komt nergens in de buurt van het grootste aantal dat in 10.000 symbolen kan worden gedefinieerd. Maar het getal van Rayo is groter dan elk getal dat kan worden gedefinieerd met googol = 10 ^ {100} symbolen. Dat is monsterlijk veel groter dan het nummer van Graham! In feite kan de eerste orde verzamelingenleer over Turing-machines praten, dus het aantal van Rayo is zelfs veel groter dan bijvoorbeeld BusyBeaver (welk groot aantal je ook bedenkt).