Beste antwoord
te bewijzen, legt George Gamow uit hoe Galileo tot deze formule kwam in zijn boek “Gravity”.
Galileo bestudeerde vallende lichamen. Hij wilde de wiskundige relatie weten tussen de tijd die de val van een voorwerp in beslag neemt en de afgelegde afstand. Dus deed hij een experiment.
Hij bouwde een hellend vlak. Daarna liet hij de ballen van verschillende materialen door het vliegtuig rollen (hij duwde ze niet). Hij mat de afstanden die de bal aflegde aan het einde van de 1e, 2e, 3e en 4e seconde. Hij had direct de vrije val van de bal kunnen regelen. Maar de vrije val is vrij snel en hij had op dat moment geen goede klokken. Door experimenten uit te voeren op een hellend vlak, verminderde hij de zwaartekracht die op de bal inwerkt en verlengde hij de tijd om de bodem te bereiken, afhankelijk van de helling van het hellende vlak. De volgende afbeelding legt dit uit:
Uit de afbeelding kunnen we aantonen dat,
[wiskunde] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ math].
Dus kleiner de x, kleiner zal de beweging zijn die kracht veroorzaakt en meer zal de tijd zijn die de bal nodig heeft om de bodem te bereiken. Galileo ontdekte dat de afstanden die de bal aflegt aan het einde van de 2e, 3e en 4e seconde respectievelijk 4, 9 en 16 keer de afstand afleggen aan het einde van de 1e seconde. Dit toont aan dat de snelheid van de bal zodanig toeneemt dat de afstanden die de bal aflegt toenemen naarmate de reistijd in vierkanten groter wordt. Nu was de vraag hoe snelheid te relateren aan tijd die hierboven is gegeven tussen afstand en tijd relatie. Galileo zei dat dit soort afstand-tijdrelatie alleen kan worden verkregen als de snelheid van de bal recht evenredig is met de tijd. De volgende afbeelding toont de grafiek van snelheid versus tijd van het bovengenoemde experiment en de verklaring van Galileo:
In de bovenstaande afbeelding wijst u A komt overeen met een nulpositie van de bal (bovenaan het hellende vlak) en punt B komt overeen met een bal met snelheid v aan het einde van tijdsinterval t. We weten dat het gebied van driehoek ABC ons de afstand geeft die de bal aflegt , s, in tijdsinterval (0, t). Daarom is de afgelegde afstand,
s = \ frac {1} {2} ww.
Maar volgens de Galileos argument, v is recht evenredig met t dwz v = waarbij a versnelling is.
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} op ^ 2. [/ math]
Dus de afgelegde afstand neemt toe als het kwadraat van de tijd dat onze experimentele waarneming was. Deze formule geeft de afgelegde afstand als er geen beginsnelheid aan de bal wordt gegeven. Maar als de bal een bepaalde beginsnelheid heeft, u, wordt de term “ut” toegevoegd aan de bovenstaande formule die de afgelegde afstand is in tijd t met snelheid u. Deze term vergroot alleen de afstanden die in ons experiment zijn gemeten, maar behoudt dezelfde afstand-tijdrelatie. Daarom is de uiteindelijke formule:
s = ut + \ frac {1} {2} op ^ 2.
Antwoord
Als je iets probeert te bewijzen tot positieve gehele getallen, zou uw eerste gedachte inductie moeten zijn. Het probleem is dat er geen direct voor de hand liggende manier is om door te gaan. We willen iets kunnen toevoegen aan beide kanten van de ongelijkheid, maar dan zou de grens aan de rechterkant toenemen.
De truc van dit probleem is om de grens daadwerkelijk sterker te maken dan hij momenteel is. Dus we zullen de gerelateerde verklaring bewijzen
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
voor alle positieve gehele getallen n \ geq 3. De oorspronkelijke verklaring volgt op waardoor n oneindig kan naderen.
Merk op dat we voor elk positief geheel getal k
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Als we dit weten, kunnen we doorgaan met inductie.
Aangezien \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, het basisscenario n = 3 is waar.
Stel nu dat de bewering waar is voor sommige k, namelijk dat
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
We willen aantonen dat de statement geldt ook voor k + 1. Voeg hiervoor \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} toe aan beide zijden:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
Op basis van de ongelijkheid die we hierboven hebben bewezen, vereenvoudigt dit tot
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
en dat is precies wat we wilden bewijzen.
Daarom, volgens het principe van wiskundige inductie, geldt de gewijzigde bewering voor alle gehele getallen n \ geq 3, dus de oorspronkelijke bewering is ook waar.
EDIT: Zoals Predrag Tosic aangaf in de commentaren, als we n toestaan om oneindig te naderen, moet het teken worden gewijzigd in een \ leq in het geval dat de twee kanten van de ongelijkheid samenkomen tot dezelfde waarde.Dit kan echter worden opgelost door in plaats daarvan de ongelijkheid te bewijzen.
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
voor een kleine waarde van \ epsilon ( zeg, \ dfrac {1} {100}), wat zou resulteren als n oneindig nadert,
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
waaruit het gewenste statement volgt.