Beste antwoord
Begin met de oplossing. Als u bijvoorbeeld wilt dat de oplossing x = 1 is, dan is de bijbehorende factor x – 1. Aangezien dat de enige oplossing is, moeten het beide factoren zijn, waardoor de vergelijking
( x – 1) (x – 1) = 0
of
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Antwoord
De oplossingen van een kwadratische vergelijking zijn de twee punten waar de grafiek de x-as kruist. Dat wil zeggen, het zijn de twee waarden van x die y tot nul maken in de grafiek.
We krijgen deze punten door de vergelijking in factoren te ontbinden. Eerst herschrijven we de vergelijking in de vorm 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Als het eenvoudig genoeg is, kunnen we de rechterkant factoriseren door ernaar te kijken. Als de vergelijking bijvoorbeeld is: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, kun je met wat oefening erkennen dat dat meetelt in 0 = (x + 3) (x + 4).
De reden Factoring is zo belangrijk dat als het product van twee getallen gelijk is aan nul, een van de termen nul MOET zijn. Dus aangezien we 0 aan de linkerkant hebben en een product aan de rechterkant (x + 3) (x + 4), moet een van die termen nul zijn.
Dus ofwel x + 3 = 0, of x + 4 = 0. We kunnen in beide gevallen x oplossen en we krijgen x = -3 of x = -4. Dat betekent dat de grafiek van onze vergelijking de x-as kruist op twee punten, -3 en -4, dus de grafiek van deze vergelijking is een parabool (alle kwadratische vergelijkingen zijn parabolen) die naar links en naar beneden is verschoven, dus de twee armen van de parabool kruisen de x-as op -3 en -4.
Soms is het niet gemakkelijk om de vergelijking te ontbinden door ernaar te kijken. We kunnen in dat geval de kwadratische formule gebruiken. (Het is erg leuk om de kwadratische formule af te leiden – als je niet weet hoe en zou willen dat ik het je laat zien, vraag het dan.)
Hier is de kwadratische formule:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
Om het te testen, als we a, b en c uit onze vergelijking pluggen, 0 = x ^ 2 + 7x + 12, dan a = 1, b = 7, c = 12, en inpluggen in de formule krijgen we:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2}, en \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3, en \ frac {-8} {2} = -4. Dus het werkte!
Oké, dat is allemaal voorafgaand aan uw vraag. Uw vraag is, wanneer zijn de oplossingen voor een kwadratische vergelijking oneindig. Laten we eens kijken wat dat betekent. Allereerst is het duidelijk dat het niet mogelijk is om één oplossing op oneindig te hebben, maar de andere oplossing eindig. Als dat het geval was, zouden we een eindig getal maal oneindig hebben, dat niet gelijk kan zijn aan nul.
Dus de vraag is, is het mogelijk voor beide oplossingen om oneindig te zijn? Hoe zou dit eruit zien?
In de kwadratische formule zou de enige manier om het oneindig te maken zijn als a = 0. Dan zou de noemer nul zijn, en daarom zou de hele vergelijking oneindig zijn. Maar als a = 0, dan is de vergelijking niet langer kwadratisch, maar lineair, toch? 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 is bijvoorbeeld hetzelfde als 0 = 7x + 12. Dat is gewoon een lijn, hij is lineair, niet kwadratisch. Maar elke lijn kruist ergens de x-as, toch? De enige keer dat dit niet het geval is, is wanneer het parallel is aan de x-as. Dat wil zeggen, wanneer het een helling heeft van 0. Dat betekent dat b = 0. Dus nu hebben we 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. Met andere woorden, 0 = c. Maar dan c = 0.
Met andere woorden, zon vergelijking is er niet. Zoals het andere antwoord zei, kruisen alle kwadratische vergelijkingen de x-as op een eindig punt. (Merk op dat die punten niet noodzakelijk echt zijn! Als b ^ 2 – 4ac negatief is, dan heeft de vergelijking eigenlijk denkbeeldige wortels. Maar ze zijn nog steeds eindig.)